ВСЁ задание 16 за одну статью? Поехали! Как раз после обновления появился новый тип под номером 7.
Окружность: теория
Основные элементы
- Радиус (R) — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.
- Диаметр (D) — хорда, проходящая через центр, D = 2R.
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку (перпендикулярна радиусу в точке касания).
Углы в окружности
Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности. Равен дуге, на которую опирается.
Вписанный угол - угол с вершиной на окружности. Равен половине дуги, на которую опирается.
Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания и равен половине дуги, заключенной внутри угла.
Важные свойства
- Диаметр делит окружность на две дуги по 180°.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр = 90°.
- Произведение отрезков пересекающихся хорд равны: AK ⋅ KB = CK ⋅ KD.
- Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть: AB² = AC ⋅ AD.
Окружность: задачи
Типы 1-5: центральные и вписанные углы
Тип 1. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
∠AOD — центральный угол, опирается на дугу AD => ⌒AD = ∠AOD = 114°.
∠ACB — вписанный угол, опирается на дугу AB => ∠ACB= ⌒AB : 2.
Чтобы найти дугу AB, нужно из дуги BD вычесть дугу AD. Дуга BD при этом равна 180°, т.к. её отсекает диаметр BD. Тогда ⌒AB = ⌒BD - ⌒AD = 180° - 114° = 66°. Угол ACВ равен её половине, т.е. ∠ACB= ⌒AB : 2 = 66° : 2 = 33°.
Ответ: 33
Тип 2. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
∠NBA— вписанный угол, опирается на дугу NA. ∠NBA = 36° => ⌒NA = ∠NBA · 2 = 36° · 2 = 72°.
AB — диаметр => ⌒AB = 180°.
∠NMB — вписанный угол, опирается на дугу NB. Найдём её. ⌒NB = ⌒AB - ⌒AN = 180° - 72° = 108°. Угол NMB равен её половине, т.е. ∠NMB = ⌒NB : 2 = 108° : 2 = 54°.
Ответ: 54
Тип 3. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
AC и BD — диаметры => ⌒AC = ⌒BD = 180°.
∠ACB — вписанный угол, опирается на дугу AB. ∠ACB = 23° => ⌒AB = ∠ACB · 2 = 23° · 2 = 46°.
∠AOD — центральный угол, опирается на дугу AD. ⌒AD = 180° − ⌒AB = 180° − 46° = 134°. Центральный угол равен дуге, на которую опирается => ∠AOD = 134°.
Ответ: 134
Тип 4. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 153°. Ответ дайте в градусах.
∠AOB — центральный угол, опирается на дугу AB => ⌒AB = ∠AOB = 153°.
Угол ACB опирается на ту же дугу AB, он вписанный, равен её половине, т.е. ∠ACB = ⌒AB : 2 = 153° : 2 = 76,5°.
Ответ: 76,5
Тип 5. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 75°. Ответ дайте в градусах.
Центр описанной окружности лежит на AB => AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр = 90° => ∠ACB = 90°.
В треугольнике ABC знаем два угла, найдём третий: ∠ABC = 180° − 90° − 75° = 15°.
Ответ: 15.
Тип 6: углы между касательными и хордами
Тип 6. Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
OA и OB — радиусы, проведённые в точки касания => OA ⟂ CA, OB ⟂ CB => ∠OAC = ∠OBC = 90°.
В четырёхугольнике AOBС знаем три угла, найдём четвертый : ∠AOB = 360° - 90°- 90° - 72° = 108.
Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB как радиусы) => ∠ABO = (180° − 108°) : 2 = 72° : 2 = 36°.
Ответ: 36
Типы 7-9: вписанные треугольники
Тип 7. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника 2√3. Найдите сторону треугольника.
В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадает, а расстояние от центра до стороны — радиус вписанной окружности, т.е. r = 2√3.
Для равностороннего треугольника r = a√3 : 6. Отсюда a = 6r : √3 = 6 · 2√3 : √3 = 12.
Ответ: 12.
Тип 8. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC = 12.
Центр на AB => AB — диаметр => AB = 2R = 2 · 6.5 = 13.
Треугольник прямоугольный (∠BCA = 90°, т.к. опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора: AC² = AB² − BC² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, т.е. AC = 5.
Ответ: 5
Тип 9 (аналогичен 8). Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 8,5. Найдите BC, если AC = 8.
Центр на AB => AB — диаметр => AB = 2R = 2 · 8.5 = 17.
Треугольник прямоугольный (∠BCA = 90°, т.к. опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора:: BC² = AB² − AC² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, т.е. BC = 15.
Ответ: 15
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
* Какой тип (1-9) оказался самым сложным?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 16 и задания 18.
👉 Разбор самых частых ошибок задания 16 - здесь.
👉 Тренажёр по всем типам задания 16 - [выйдет в среду]
👉 Разбор всех типов задания 18 (+ новые) - [выйдет в четверг]
👉 Разбор самых частых ошибок задания 18 - [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам задания 18 - [выйдет в субботу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.
