ВСЕ растворы из 21 задания за одну статью? Поехали!
2 типа задач = 2 балла на ОГЭ.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Разбор
Тип 1: масса кислоты в первом
Задача. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Решение. Пусть x — концентрация кислоты в первом растворе, а y — концентрация кислоты во втором растворе.
Если растворы слить вместе, то получится новый 55% раствор кислоты. В таком случае масса кислоты в первом растворе 10x кг, масса кислоты во втором растворе 16y кг, а масса кислоты в полученном растворе 26 · 0,55 = 14,3 кг. При этом масса кислоты неизменна.
Тогда 10x + 16y = 14,3 — это первое уравнение.
Если слить равные массы растворов, то получится новый 61% раствор кислоты. Будем сливать по 1 кг раствора. В таком случае масса кислоты в первом растворе 1x кг, масса кислоты во втором растворе 1y кг, а масса кислоты в полученном растворе 2 · 0,61 = 1,22 кг. При этом масса кислоты неизменна.
Тогда x + y = 1,22 — это второе уравнение.
Уравнения образуют систему. Решим её способом подстановки. Из второго уравнения выразим x: x = 1,22 - y.
Подставим полученное выражение вместо x в первом уравнение: 10(1,22 - y) + 16y = 14,3.
Раскроем скобки: 12,2 - 10y + 16y = 14,3.
Неизвестные влево, числа вправо: - 10y + 16y = 14,3 - 12,2.
Тогда: 6y = 2,1 => y = 0,35.
Отсюда: x = 1,22 - 0,35 = 0,87.
За x обозначали концентрацию кислоты в первом растворе, тогда она 0,87. Значит, масса кислоты в первом растворе равна 10x = 10 · 0,87 = 8,7 кг.
Ответ: 8,7 кг.
Тип 2: масса кислоты во втором
Задача. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
Решение. Пусть x — концентрация кислоты в первом растворе, а y — концентрация кислоты во втором растворе.
Если растворы слить вместе, то получится новый 65% раствор кислоты. В таком случае масса кислоты в первом растворе 12x кг, масса кислоты во втором растворе 8y кг, а масса кислоты в полученном растворе 20 · 0,65 = 13 кг. При этом масса кислоты неизменна.
Тогда 12x + 8y = 13 — это первое уравнение.
Если слить равные массы растворов, то получится новый 60% раствор кислоты. Будем сливать по 1 кг раствора. В таком случае масса кислоты в первом растворе 1x кг, масса кислоты во втором растворе 1y кг, а масса кислоты в полученном растворе 2 · 0,6 = 1,2 кг. При этом масса кислоты неизменна.
Тогда x + y = 1,2 — это второе уравнение.
Уравнения образуют систему. Решим её способом сложения.
Умножим второе уравнение на 12: 12x + 12y = 14,4.
Из второго уравнения вычтен первом: 12x - 12x = 0. 12y - 8y = 4y, 14,4 - 13 = 1,4.
Получим: 4y = 1,4 => y = 0,35.
Подставим y во второе уравнение: x + 0,35 = 1,2 => x = 1,2 - 0,35 = 0,85.
За y обозначали концентрацию кислоты во втором растворе, тогда она 0,35. Значит, масса кислоты во втором растворе равна 8y = 8 · 0,35 = 2,8 кг.
Ответ: 2,8 кг.
⚠️ Самые частые ошибки в задачах на растворы
Ошибка 1: решение не до конца
Суть. Составляют и решают систему верно, но в ответ пишут просто значение x или y.
Как избежать? После решения системы возвращайся к вопросу задачи. Чтобы найти ответ, нужно ещё поработать с x или y, ведь нужно найти не концентрацию, а массу кислоты в конкретном растворе.
Встречается: все типы.
Ошибка 2: отсутствие проверки на реалистичность
Суть. Получают y = 1,33 или x = 4,5 и используют эти числа дальше.
Как избежать? Значение концентрации может находиться в пределах от 0 до 1, следовательно, если x или y получаются больше 1, значит, они вычислены неверно. Пересчёт!
Встречается: все типы.
✅ Самопроверка с ответами
Тип 1: масса кислоты в первом растворе
Имеются два сосуда, содержащие 15 кг и 25 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 48 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 52 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? (Ответ: 6 кг.)
Имеются два сосуда, содержащие 8 кг и 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? (Ответ: 2 кг.)
Тип 2: масса кислоты во втором растворе
Имеются два сосуда, содержащие 20 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 50 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 45 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? (Ответ: 18 кг.)
Имеются два сосуда, содержащие 6 кг и 9 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 70 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 65 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? (Ответ: 7,2 кг.)
P.S. Если хочешь посмотреть разбор прошлого года для закрепления (эти же типы с другими числами + решение через таблицу) — это сюда.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип задачи на растворы труднее?
- Сколько задач из «Проверь себя» решили?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — продолжение разбора 21 задания:
👉 Движение — здесь.
👉 Движение по воде — здесь.
👉 Фрукты — здесь.
👉 Производительность — здесь.
👉 Тренажёр по всем типам 21 задания — [выйдет в субботу]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.