ВСЯ производительность из 21 задания за одну статью? Поехали!
Рабочие и бассейны = 2 балла на ОГЭ.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Разбор
Тип 1: первый рабочий
Задача. Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Решение. Пусть x дет./ч. — производительность первого рабочего. Тогда x - 9 дет./ч. — производительность второго.
Значит время первого 216/x ч., время второго 216/(x - 9) ч.
Разница времени 4 часа, второй рабочий выполнял заказ дольше, тогда: 216/(x - 9) - 216/x = 4.
Умножим на x(x - 9): 216x - 216(x - 9) = 4x(x - 9).
Раскроем скобки: 216x - 216x + 1944 = 4x² - 36x.
216x - 216x = 0, тогда уравнение имеет вид: 1944 = 4x² - 36x.
Перенесём всё в одну часть: 4x² - 36x - 1944 = 0.
Разделим на 4: x² - 9x - 486 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 9, c = - 486. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 9)² - 4 · 1 · (- 486) = 81 + 1944 = 2025. Следовательно, √D = 45.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (9 + 45) / 2 = 54 / 2 = 27.
x = (-b - √D) / 2a = (9 - 45) / 2 = - 36 / 2 = - 18.
За x обозначали производительность, которая не может быть отрицательной. Тогда - 18 не подходит, а искомая производительность равна 27 дет./ч.
Ответ: 27 дет./ч.
Тип 2: второй рабочий
Задача. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Решение (по аналогии с предыдущей). Пусть x дет./ч. — производительность первого рабочего. Тогда x - 10 дет./ч. — производительность второго.
Значит время первого 60/x ч., время второго 60/(x - 10) ч.
Разница времени 3 часа, второй рабочий выполнял заказ дольше, тогда: 60/(x - 10) - 60/x = 3.
Умножим на x(x - 10): 60x - 60(x - 10) = 3x(x - 10).
Раскроем скобки: 60x - 60x + 600 = 3x² - 30x.
60x - 60x = 0, тогда уравнение имеет вид: 600 = 3x² - 30x.
Перенесём всё в одну часть: 3x² - 30x - 600 = 0.
Разделим на 3: x² - 10x - 200 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 10, c = - 200. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 10)² - 4 · 1 · (- 200) = 100 + 800 = 900. Следовательно, √D = 30.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (10 + 30) / 2 = 40 / 2 = 20.
x = (-b - √D) / 2a = (10 - 30) / 2 = - 20 / 2 = - 10.
За x обозначали производительность, которая не может быть отрицательной. Тогда - 10 не подходит, а 20 дет./ч. Подходит. Отсюда производительность второго рабочего x - 10 = 20 - 10 = 10 дет. / ч.
Ответ: 10 дет./ч.
Тип 3: первая труба
Задача. Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
Решение. Пусть x л./мин.. — производительность первой трубы. Тогда x + 9 л./мин. — производительность второй.
Значит время первой 112/x ч., время второй 112/(x + 9) ч.
Разница времени 4 минуты, вторая заполняет бассейн быстрее, тогда: 112/x - 112/(x + 9) = 4.
Умножим на x(x + 9): 112(x + 9) - 112x = 4x(x + 9).
Раскроем скобки: 112x + 1008 - 112x = 4x² + 36x.
112x - 112x = 0, тогда уравнение имеет вид: 1008 = 4x² + 36x.
Перенесём всё в одну часть: 4x² + 36x - 1008 = 0.
Разделим на 4: x² + 9x - 252 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 9, c = - 252. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 9² - 4 · 1 · (- 252) = 81 + 1008 = 1089. Следовательно, √D = 33.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (- 9 + 33) / 2 = 24 / 2 = 12.
x = (-b - √D) / 2a = (- 9 - 33) / 2 = - 42 / 2 = - 21.
За x обозначали производительность, которая не может быть отрицательной. Тогда - 21 не подходит, а 12 л./мин. - производительность первой трубы. Тогда производительность второй 12 + 9 = 21 л. / мин.
Ответ: 21 л./мин.
Тип 4: вторая труба
Задача. Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?
Решение (по аналогии с предыдущей). Пусть x л./мин.. — производительность первой трубы. Тогда x + 15 л./мин. — производительность второй.
Значит время первой 100/x ч., время второй 100/(x + 15) ч.
Разница времени 6 минуты, первая дольше, значит вторая быстрее, тогда: 100/x - 100/(x + 15) = 6.
Умножим на x(x + 15): 100(x + 15) - 100x = 6x(x + 15).
Раскроем скобки: 100x + 1500 - 100x = 6x² + 90x.
100x - 100x = 0, тогда уравнение имеет вид: 1500 = 6x² + 90x.
Перенесём всё в одну часть: 6x² + 90x - 1500 = 0.
Разделим на 6: x² + 15x - 250 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 15, c = - 250. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 15² - 4 · 1 · (- 250) = 225 + 1000 = 1225. Следовательно, √D = 35.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (- 15 + 35) / 2 = 20 / 2 = 10.
x = (-b - √D) / 2a = (- 15 - 35) / 2 = - 50 / 2 = - 25.
За x обозначали производительность, которая не может быть отрицательной. Тогда - 25 не подходит, а искомая производительность равна 10 л./мин.
Ответ: 10 л./мин.
⚠️ Самые частые ошибки в задачах на производительность
Ошибка 1: путаница с тем, кто работает быстрее
Суть. Неправильно определяют, из какого времени вычитать.
Как избежать? Если первый делает больше деталей за час или заполняет бассейн быстрее — его время меньше. Тогда время второго больше. Из большего будем вычитать меньшее.
Встречается: все типы.
Ошибка 2: отсутствие проверки ответа
Суть. Получают скорость 500 деталей в час и не замечают абсурда.
Как избежать? Подставь полученный x в составленное уравнение. После всех вычислений должно получиться верное равенство. Если нет, то ошибка либо в вычислениях, либо в самом составлении уравнения. Перепроверяй!
Встречается: все типы.
✅ Самопроверка с ответами
Тип 1: первый рабочий
Первый рабочий за час делает на 8 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 240 деталей на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий? (Ответ: 24 детали/час)
Тип 2: второй рабочий\
Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 180 деталей на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий? (Ответ: 18 деталей/час)
Тип 3: вторая труба
Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 5 минут быстрее, чем первая труба (Ответ: 20 литров/минуту)
Тип 4: первая труба
Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 168 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба (Ответ: 14 литров/минуту)
P.S. Если хочешь посмотреть разбор прошлого года для закрепления (эти же типы с другими числами + решение через таблицу) — это сюда
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип задачи на производительность труднее — рабочие или трубы?
- Сколько задач из «Проверь себя» решили?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — продолжение разбора 21 задания:
👉 Движение — здесь.
👉 Движение по воде — здесь.
👉 Фрукты — здесь.
👉 Растворы — [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам 21 задания — [выйдет в субботу]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.