ВСЁ движение из 21 задания за одну статью? Поехали!
12 типов задач на движение — это 2 балла на ОГЭ. Разберём их все: из А в В, навстречу, по кругу, про поезда и пешеходов.
P,S, Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Разбор
Тип 1: велосипедисты в одном направлении
Задача. Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Решение. Пусть x км/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда x+2 км/ч — скорость первого.
Время первого: 224/(x+2) ч, время второго: 224/x ч.
Первый прибыл на 2 часа раньше, значит: 224/x - 224/(x+2) = 2.
Умножим на x(x+2): 224(x + 2) - 224x = 2x(x + 2).
Раскроем скобки: 224x + 448 - 224x = 2x² + 4x.
224x - 224x = 0, тогда уравнение имеет вид: 448 = 2x² + 4x
Перенесём все в одну часть: 2x² + 4x - 448 = 0.
Разделим на 2: x² + 2x - 224 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 2, c = - 224. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 2² - 4 · 1 · (- 224) = 4 + 896 = 900. Следовательно, √D = 30.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (-2 + 30) / 2 = 28 / 2 = 14.
x = (-b - √D) / 2a = (-2 - 30) / 2 = - 32 / 2 = -16.
За x обозначали скорость, которая не может быть отрицательной. Тогда - 16 не подходит, а искомая скорость равна 14 км/ч.
Ответ: 14 км/ч.
Тип 2: велосипедист с остановкой
Задача. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
Решение. Пусть x км/ч — скорость из А в В. Тогда x+8 км/ч — скорость из В в А.
Время туда: 209/x ч, время обратно: 209/(x+8) ч + 8 ч остановки.
Время движения туда и время движения обратно совпадают: 209/x = 209/(x + 8) + 8.
Умножим на x(x+8): 209(x + 8) = 209x + 8x(x + 8).
Раскроем скобки: 209x + 1672 = 209x + 8x² + 64x
Перенесём все в одну часть: 8x² + 64x + 209x - 209x - 1672 = 0.
Отсюда: 8x² + 64x - 1672 = 0.
Разделим на 8: x² + 8x - 209 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 8, c = - 209. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 8² - 4 · 1 · (- 209) = 64 + 836 = 900. Следовательно, √D = 30.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (-8 + 30) / 2 = 22 / 2 = 11.
x = (-b - √D) / 2a = (-8 - 30) / 2 = - 38 / 2 = - 19.
За x обозначались скорость из А в В, которая не может быть отрицательной. Тогда - 19 не подходит, а скорость равна 11 км/ч. Нужно найти скорость из В в А, которую обозначили за x + 8, тогда она равна 11 + 8 = 19 км/ч.
Ответ: 19 км/ч.
Тип 3: велосипедист с остановкой (ещё один)
Задача. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Условие аналогично предыдущей задаче, меняется лишь вопрос: нужно найти скорость на пути из А в В. Её уже нашли. Это 11 км/ч.
Ответ: 11 км/ч.
Тип 4: два бегуна на круговой трассе
Задача. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 7 км/ч меньше скорости второго.
Решение. Пусть x км/ч — скорость первого, тогда x+7 км/ч — скорость второго.
Второй пробежал круг за 1 ч − 20 мин = 3/3 ч − 1/3 ч = 2/3 ч.
Длина круга: 2/3 · (x + 7).
Первый за час пробежал: 1 ч · x км/ч = x км, при этом до конца круга не хватает 1 км. Тогда длина круга: x + 1.
Длина круга одна, поэтом приравниваем полученные выражения: 2/3 · (x + 7) = x +1.
Умножим на 3: 2(x + 7) = 3x + 3.
Раскроем скобку и перенесем всё в одну часть: 2x + 14 - 3x - 3 = 0 => x = 11.
За x обозначили скорость первого бегуна, тогда она равна 11 км/ч.
Ответ: 11 км/ч.
Тип 5: велосипедисты навстречу
Задача. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Решение. Пусть x км — путь, который проехал первый велосипедист до встречи. Тогда путь второго: 82 − x км.
Время первого: x/28 ч, время второго: (82−x)/10.
Первый сделал остановку на 36 минут, т.е. на 36 / 60 = 0,6 ч.
Они встретились, значит их пути заняли одно и то же время: 0,6 + х/28 = (82 - х)/10.
Нужно избавиться от дробей, т.е. умножить на 28 и на 10, но лучше найти наименьшее подходящее число - НОК(10 и 28), т.е. общий знаменатель. Это 140.
Умножим на 140: 84 + 5x = 14(82 - x).
Раскроем скобки: 84 + 5x = 1148 - 14x
Перенесём все в одну часть: 84 + 5x - 1148 + 14x = 0.
Отсюда: 19x = 1064 => x = 56.
За x обозначали путь первого велосипедиста, он 56 км. Тогда путь второго 82 - 56 = 26 км.
Ответ: 26 км.
Тип 6: поезд и пешеход в одном направлении
Задача. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
Решение. Поезд и пешеход двигаются в одном направлении, тогда скорость их сближения 93 - 3 = 90 км/ч.
Время равно 24 с - это 24/60 мин или 24/3600 ч.
Тогда путь (длина поезда) = 90 · 24/3600 км = 24/40 км, в метрах это 24/40 · 1000 м = 600 м.
Ответ: 600 м.
Тип 7: поезд и пешеход навстречу
Задача. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 129 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу поезду, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение. Поезд и пешеход двигаются навстречу, тогда скорость их сближения 129 + 6 = 135 км/ч, в метрах в секунду это 135 · 1000 м / 3600 c = 135 · 1000 / 3600 м/c = 135 · 10 / 36 = 135 · 5 / 18 = 15 · 5 / 2 = 75/2 м/с.
Время равно 8 с. Тогда путь (длина поезда) = 8 · 75/2 = 4 · 75 = 300 м.
Ответ: 300 м.
Тип 8: средняя скорость на частях пути
Задача. Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Чтобы найти среднюю скорость, нужно общий путь разделить на общее время.
Общий путь равен 350 + 105 + 160 = 615 км.
Время вычислим на каждом участке. На первом участке даны скорость и путь, найдём время. Время = 350 / 70 = 5 ч. На втором участке аналогично время равно 105 / 35 = 3 ч. На третьем 160 / 80 = 2 ч. Тогда общее время = 5 + 3 + 2 = 10 ч.
Средняя скорость = 615 / 10 = 61,5 км/ч.
Ответ: 61,5 км/ч.
Тип 9: средняя скорость на половинах пути
Задача. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Чтобы найти среднюю скорость, нужно общий путь разделить на общее время.
Путь неизвестен, но далее он делится на половины, тогда обозначим весь путь за 2S.
Найдём время. На первой половине пути время равно S/84 ч, на второй половине пути S/108 ч. Тогда общее время = S/84 + S/108. Общий знаменатель 756, тогда общее время = (9S + 7S)/756 = 16S/756.
Cредняя скорость равна 2S / (16S/756) = 2S · 756/16S = 756/8 = 94,5 км/ч.
Ответ: 94,5 км/ч.
Тип 10: два автомобиля и средняя скорость
Задача. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Решение. Пусть x км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути x + 6 км/ч.
Путь неизвестен, но далее он делится на половины, тогда обозначим весь путь за 2S.
Время первого автомобиля: 2S/x. Время второго автомобиля S/55 + S/(x + 6).
Они выехали и прибыли одновременно, тогда потратили одинаковое время: 2S/x = S/55 + S/(x + 6).
Умножим на 55x(x+6): 110S(x + 6) = Sx(x + 6) + 55Sx.
Разделим на S: 110(x + 6) = x(x + 6) + 55x.
Раскроем скобки: 110x + 660 = x² + 6x + 55x.
Перенесём все в одну часть: x² + 6x + 55x - 110x - 660 = 0.
Отсюда: x² - 49x - 660 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 49, c = - 660. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 49)² - 4 · 1 · (- 660) = 2401 + 2640 = 5041. Следовательно, √D = 71.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (49 + 71) / 2 = 120 / 2 = 60.
x = (-b - √D) / 2a = (49 - 71) / 2 = - 22 / 2 = -11.
За x обозначали скорость первого автомобиля, он 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
Тип 11: два автомобиля и средняя скорость с ограничением
Задача. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 40 км/ч.
Решение. Пусть x км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути x - 11 км/ч.
Путь неизвестен, но далее он делится на половины, тогда обозначим весь путь за 2S.
Время первого автомобиля: 2S/x. Время второго автомобиля S/(x - 11) + S/66.
Они выехали и прибыли одновременно, тогда потратили одинаковое время: 2S/x = S/(x - 11) + S/66.
Умножим на 66x(x - 11): 132S(x - 11) = 66Sx + Sx(x - 11).
Разделим на S: 132(x - 11) = 66x + x(x - 11).
Раскроем скобки: 132x - 1452 = 66x + x² - 11x.
Перенесём все в одну часть: x² + 66x - 11x - 132x + 1452 = 0.
Отсюда: x² - 77x + 1452 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 77, c = 1452. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 77)² - 4 · 1 · 1452 = 5929 - 5808 = 121. Следовательно, √D = 11.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (77 + 11) / 2 = 88 / 2 = 44.
x = (-b - √D) / 2a = (77 - 11) / 2 = 66 / 2 = 33.
За x обозначали скорость первого автомобиля, которая должна быть больше 40 км/ч. Тогда она 44 км/ч.
Ответ: 44 км/ч.
Тип 12: автомобили в одном направлении
Задача. Два автомобиля одновременно отправляются в 540-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Решение. Пусть x км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда x - 30 км/ч — скорость второго.
Время первого: 540/x ч, время второго: 540/(x - 30) ч.
Первый прибыл на 3 часа раньше, значит: 540/(x - 30) - 540/x = 3.
Умножим на x(x - 30): 540x - 540(x - 30) = 3x(x - 30).
Раскроем скобки: 540x - 540x + 16200 = 3x² - 90x.
540x - 540x = 0, тогда уравнение имеет вид: 16200 = 3x² - 90x.
Разделим на 3: 5400 = x² - 30x.
Перенесём все в одну часть: x² - 30x - 5400 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 30, c = - 5400. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 30)² - 4 · 1 · (- 5400) = 900 + 21600 = 22500. Следовательно, √D = 150.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (30 + 150) / 2 = 180 / 2 = 90.
x = (-b - √D) / 2a = (30 - 150) / 2 = - 120 / 2 = - 60.
За x обозначали скорость первого автомобиля, она 90 км/ч.
Ответ: 90 км/ч.
⚠️ Самые частые ошибки в задачах на движение
Ошибка 1: путаница с вычитанием времени.
Суть. Часто из меньшего времени вычитают большее. Уравнение при этом имеет стандартный вид, однако решений не имеет.
Как избежать? При вычитании проверяйте, что вы обязательно вычитаете из большей величины меньшую. Например, из времени первого велосипедиста, который ехал дольше, время второго, который ехал меньше.
Встречается: типы 1, 10, 11, 12.
Ошибка 2: перевод единиц измерения
Суть. Время дано в минутах, а в уравнение подставляют как есть, забывая разделить на 60. В итоге скорость получается в несколько раз меньше реальной.
Как избежать? Запомни, чтобы перевести минуты в часы, нужно разделить на 60. Перед подстановкой проверяй, в каких единицах измерения все остальные величины. Если у всех они одинаковые, то смело подставляй.
Встречается: типы 4, 5, 6, 7.
Ошибка 3: среднюю скорость как среднее арифметическое
Суть. Берут две скорости, складывают и делят на 2. Это приводит к неверному ответу.
Как избежать? Средняя скорость = весь путь : всё время.
Встречается: типы 8, 9, 10, 11.
Ошибка 4: путаница с «навстречу» и «в одном направлении»
Суть. При движении навстречу скорости складывают, а при движении в одном направлении — вычитают. Часто путают в задачах с поездом и пешеходом.
Как избежать? Представь себя на месте. Если объекты движутся друг к другу — скорость сближения равна сумме. Если один догоняет другого — разности (из большей вычитаем меньшую).
Встречается: типы 6, 7.
Ошибка 5: отсутствие проверки
Суть. После решения не проверяют, насколько ответ реалистичен. Скорость велосипедиста 500 км/ч или поезда 2 км/ч — явный сигнал об ошибке, но его пропускают.
Как избежать? Подставь найденный ответ в условие задачи и убедись, что всё сходится. Если ответ нелогичен — пересмотри уравнение.
Встречается: во всех типах.
✅ Самопроверка с ответами
Тип 1. Велосипедисты в одном направлении
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180‑километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. (Ответ: 15 км/ч)
Тип 2. Велосипедист с остановкой
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 168 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 7 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. (Ответ: 28 км/ч)
Тип 3. Велосипедист с остановкой (ещё один)
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 240 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 6 км/ч. По пути он сделал остановку на 5 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. (Ответ: 16 км/ч)
Тип 4. Два бегуна на круговой трассе
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго. (Ответ: 12 км/ч)
Тип 5. Велосипедисты навстречу
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 40 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 192 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 45 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. (Ответ: 140 км)
Тип 6. Поезд и пешеход в одном направлении
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 78 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (Ответ: 600 м)
Тип 7. Поезд и пешеход навстречу
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 84 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу поезду, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (Ответ: 300 м)
Тип 8. Средняя скорость на частях пути
Первые 240 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 150 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. (Ответ: 72 км/ч)
Тип 9. Средняя скорость на половинах пути
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 45 км/ч, а вторую — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. (Ответ: 56,25 км/ч)
Тип 10. Два автомобиля и средняя скорость
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 10 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. (Ответ: 75 км/ч)
Тип 11. Два автомобиля и средняя скорость с ограничением
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 12 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 84 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч. (Ответ: 63 км/ч)
Тип 12. Автомобили в одном направлении
Два автомобиля одновременно отправляются в 800‑километровый пробег. Первый едет со скоростью на 25 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля (Ответ: 100 км/ч)
P.S. Если хочешь посмотреть разбор прошлого года для закрепления (эти же типы с другими числами + решение через таблицу) — это сюда.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип задачи на движение самый запутанный?
- Сколько задач из «Проверь себя» решили без подсказок?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — продолжение разбора 21 задания:
👉 Движение по воде — здесь.
👉 Проценты (фрукты) — [выйдет в среду]
👉 Производительность — [выйдет в четверг]
👉 Растворы — [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам 21 задания — [выйдет в субботу]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.