ВСЁ движение по воде из 21 задания за одну статью? Поехали!
Всего 4 типа — это 2 балла на ОГЭ. Разберём их все: моторная лодка, теплоход, плод и баржа.
P,S, Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Разбор
Тип 1: моторная лодка
Задача. Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решение. Пусть x км/ч — собственная скорость лодки. Тогда x + 4 км/ч — скорость лодки по течению, x - 4 км/ч — скорость лодки против течения.
Значит время по течению 192/(x + 4) ч., время против течения 192/(x - 4) ч.
Разница времен 4 часа: 192/(x - 4) - 192/(x + 4) = 4.
Умножим на (x - 4)(x + 4): 192(x + 4) - 192(x - 4) = 4(x + 4)(x - 4).
Заметим, что (x + 4)(x - 4) можно представить как разность квадратов x² - 16.
Раскроем скобки: 192x + 768 - 192x + 768 = 4x² - 64.
192x - 192x = 0, тогда уравнение имеет вид: 768 + 768 = 4x² - 64.
Перенесём всё в одну часть: 4x² - 1600 = 0.
Разделим на 4: x² - 400 = 0.
Отсюда: x² = 400 => x = 20, x = - 20.
За x обозначали скорость, которая не может быть отрицательной. Тогда - 20 не подходит, а искомая скорость равна 20 км/ч.
Ответ: 20 км/ч.
Тип 2: теплоход
Задача. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.
Решение. Пусть x км/ч — скорость течения. Тогда 26 + x км/ч — скорость по течению, 26 - x км/ч — скорость против течения.
Значит время по течению 165/(26 + x) ч., время против течения 165/(26 - x) ч.
Путь туда, путь обратно и стоянка в 5 часов в общем сложности заняли 18 часов: 165/(26 + x) + 165/(26 - x) + 5 = 18.
Тогда: 165/(26 + x) + 165/(26 - x) - 13 = 0.
Умножим на (26 + x)(26 - x): 165(26 - x) + 165(26 + x) - 13(26 + x)(26 - x) = 0.
Заметим, что (26 - x)(26 + x) можно представить как разность квадратов 676 - x².
Тогда уравнение имеет вид: 165(26 - x) + 165(26 + x) - 13(676 - x²) = 0.
Раскроем скобки: 4290 - 165x + 4290 + 165x - 8788 + 13x² = 0.
165x - 165x = 0, тогда уравнение имеет вид: - 208 + 13x² = 0.
Разделим на 13: - 16 + x² = 0.
Отсюда: x² = 16 => x = 4, x = - 4.
За x обозначали скорость, которая не может быть отрицательной. Тогда - 4 не подходит, а искомая скорость равна 4 км/ч.
Ответ: 4 км/ч.
Тип 3: моторная лодка и плот
Задача. .Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение. У плота нет собственной скорости, поэтому его скорость равна скорости течения, т.е. 3 км/ч. Плот проплыл 48 км. Тогда он плыл 48 / 3 = 16 ч.
Лодка отправилась через час после плота, т.е. она плыла 16 - 1 = 15 ч.
Пусть x км/ч — собственная скорость лодки. Тогда x + 3 км/ч — скорость лодки по течению, x - 3 км/ч — скорость лодки против течения.
Значит время по течению 108/(x + 3) ч., время против течения 108/(x - 3) ч.
Она плыла 15 часов: 108/(x - 3) + 108/(x + 3) = 15.
Умножим на (x - 3)(x + 3): 108(x + 3) + 108(x - 3) = 15(x + 3)(x - 3).
Заметим, что (x + 3)(x - 3) можно представить как разность квадратов x² - 9.
Раскроем скобки: 108x + 324 + 108x - 324 = 15x² - 135.
324 - 324 = 0, тогда уравнение имеет вид: 216x = 15x² - 135.
Перенесём всё в одну часть: 15x² - 216x - 135 = 0.
Разделим на 3: 5x² - 72x - 45 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 5, b = - 72, c = - 45. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 72)² - 4 · 5 · (- 45) = 5184 + 900 = 6084. Следовательно, √D = 78.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (72 + 78) / 10 = 150 / 10 = 15.
x = (-b - √D) / 2a = (72 - 78) / 10 = - 6 / 10 = -0,6.
За x обозначали скорость, которая не может быть отрицательной. Тогда - 0,6 не подходит, а искомая скорость равна 15 км/ч.
Ответ: 15 км/ч.
Тип 4: баржа
Задача. Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Решение. Пусть x км/ч — собственная скорость баржи. Тогда x + 5 км/ч — скорость по течению, x - 5 км/ч — скорость против течения.
Значит время по течению 64/(x + 5) ч., время против течения 48/(x - 5) ч.
Весь путь занял 8 часов: 48/(x - 5) + 64/(x + 5) = 8.
Умножим на (x - 5)(x + 5): 48(x + 5) + 64(x - 5) = 8(x + 5)(x - 5).
Заметим, что (x + 5)(x - 5) можно представить как разность квадратов x² - 25.
Раскроем скобки: 48x + 240 + 64x - 320 = 8x² - 200.
Перенесём всё в одну часть: 8x² - 200 - 48x - 240 - 64x + 320 = 0.
Приведём подобные: 8x² - 112x - 120 = 0.
Разделим на 8: x² - 14x - 15 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 14, c = - 15. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 14)² - 4 · 1 · (- 15) = 196 + 60 = 256. Следовательно, √D = 16.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (14 + 16) / 2 = 30 / 2 = 15.
x = (-b - √D) / 2a = (14 - 16) / 2 = - 2 / 2 = - 1.
За x обозначали скорость, которая не может быть отрицательной. Тогда - 1 не подходит, а искомая скорость равна 15 км/ч.
Ответ: 15 км/ч.
⚠️ Самые частые ошибки в задачах на движение
Ошибка 1: путаница со скоростями
Суть. Забывают, что у плота нет собственной скорости, его скорость = скорости течения. Или путают, где прибавлять, а где вычитать течение
Как избежать? Запомни: по течению → скорость = собственная + течение; против течения → скорость = собственная − течение.
Встречается: типы 1, 2, 3, 4.
Ошибка 2: неверный учёт стоянки
Суть. В задачах с теплоходом добавляют стоянку не к тому времени или забывают её вычесть.
Как избежать? Общее время = время туда + стоянка + время обратно.
Встречается: тип 2.
Ошибка 3: плот одновременно или нет
Суть. Не учитывают, что плот отправился раньше лодки, и неправильно находят время движения лодки.
Как избежать? Сначала найди, сколько времени плыл плот. Затем вычти разницу старта.
Встречается: тип 3.
✅ Самопроверка с ответами
Тип 1: моторная лодка
Моторная лодка прошла против течения реки 240 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. (Ответ: 25 км/ч.)
Тип 2: теплоход
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 30 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 16 часов после отплытия из него. (Ответ: 10 км/ч.)
Тип 3: моторная лодка и плот
Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. (Ответ: 16 км/ч.)
Тип 4: баржа
Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 7 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 4 км/ч. (Ответ: 20 км/ч.)
P.S. Если хочешь посмотреть разбор прошлого года для закрепления (эти же типы с другими числами + решение через таблицу) — это сюда.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип задачи на движение по воде самый запутанный?
- Сколько задач из «Проверь себя» решили?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — продолжение разбора 21 задания:
👉 Движение — здесь.
👉 Проценты (фрукты) — [выйдет в среду]
👉 Производительность — [выйдет в четверг]
👉 Растворы — [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам 21 задания — [выйдет в субботу]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.