Несколько приемов, упрощающих составление уравнений.
Задачи, где нужно найти массу раствора, удобнее всего решать с помощью уравнений или систем уравнений. Кто-то может со мной не согласиться, сказав, что составление уравнения – та еще морока, но, на самом деле, есть несколько хитростей, заметно упрощающих этот процесс. Рассмотрим их.
1 хитрость. В задачах про смеси иногда требуется найти массу раствора, а иногда – массу кислоты, содержащуюся в растворе. Однако, составляя уравнение, мы всегда приравниваем массы кислот, содержащихся в растворах, а не массы самих растворов.
2 хитрость. Это даже не хитрость, а просто теория, которую нам рассказывали еще в 6 классе. Чтобы найти массу вещества, содержащегося в растворе, нужно массу раствора умножить на процентное содержание этого вещества и разделить на сто.
Например, масса 30%-го раствора кислоты 19кг. Значит, если мы выделим из этого раствора чистую (сухую) кислоту, то ее масса будет (19*30/100) кг. Таким образом, в 19 килограммах 30%-го раствора кислоты содержится 5,7 кг чистой (сухой) кислоты.
3 хитрость. А что делать, если дана масса раствора, но не дано его процентное содержание. Все просто! То, что не дано, обозначаем за «х». Если в задаче две разные переменные, то вторую берем за «у».
Например, смешали два раствора одной и той же кислоты и сказали, что первый раствор – 20%-й, а второй – 50%-ый. Масса ни одного из них неизвестна, значит, обозначаем эти массы за «х» и «у» и выражаем массы кислоты, содержащиеся в них.
Теперь допустим, что нам даны массы растворов, но неизвестны их концентрации. В этом случае мы идем по уже проторенной дорожке, т.е. обозначаем неизвестное за «х» и «у».
Например, смешали 12 кг и 20 кг раствора одной и той же кислоты, но разной концентрации. Т.е. один раствор более кислый, а другой менее насыщен кислотой. Поскольку процентное содержание кислоты в растворах разное, обозначим их за «х» и «у» и выразим массы содержащийся в них кислоты:
Теперь рассмотрим задачи.
При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
1. Заметим, что массы растворов разные, поэтому массу первого раствора обозначим за «х», а второго – за «у».
2. Соединяем растворы и получаем новый раствор, масса которого равна (х+у) кг, а кислоты в нем
3. С другой стороны, когда мы соединили два раствора с разной концентрацией кислоты, то получили, что масса кислоты равна сумме кислот из этих двух растворов:
4. Поскольку выражение (1) и (2) обозначают одно и то же число – массу кислоты после соединения двух растворов – приравняем их и получим уравнение:
Да, у нас получилось одно уравнение с двумя неизвестными, решить однозначно которое мы не можем. Но этого и не требуется. По условию задач нам нужно лишь найти отношение, в котором взяты растворы. Иначе говоря, нужно определить сколько было взято частей одного раствора и сколько частей другого раствора.
Для тех, кто подзабыл математику 6 класса, напомним смысл понятия «часть» на простом примере.
Допустим, для приготовления варенья на 1 часть ягоды требуется 2 части сахара. Это значит, что если взять 1 кг ягоды, то в нее нужно всыпать 2 кг сахара. Если у нас 1.5 кг ягоды, то сахара потребуется 3 кг, и т.д.
Вернемся к нашим «кислым» растворам и упростим уравнение (умножим на 100 и приведем подобные):
Итак, отношение «х» к «у» на языке математики выглядит так: x/y.
Выделим его из получившегося уравнения:
Таким образом, растворы взяты в отношении 1 к 2.
Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
1. За «х» обозначим количества вещества в первом и во втором растворах (по условию задачи оно одинаковое). При этом количество вещества в первом растворе 0,21х, а во втором – 0,95х, т.е. всего в новом растворе содержится 1,16х грамма вещества.
2. После того как мы соединим растворы, количество получившегося раствора будет 2х.
3. Осталось найти процент, который 1,16х составляет от 2х:
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты.
Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
В этой задаче, в отличие от предыдущих, даны массы, но не дана концентрация вещества. Заметим, что массы нам даны и в первом условии (10кг и 16кг), и во втором. Да, нам неизвестна точная масса веществ во втором условии, но сказано, что масса двух растворов одинакова. Это значит, что мы можем взять любую массу растворов и, соединив их, получить концентрацию 61%.
1. Пусть x% концентрация первого раствора, а у% - второго. Соединим растворы (10кг и 16кг) и получим, что масса нового раствора 26 кг, а масса вещества в новом растворе
2. Из первого условия мы знаем, что после соединения двух растворов массами 10кг и 16кг мы получим раствор, концентрация которого 55%. Это значит, что в 26 кг нового раствора будет
3. Приравняем эти значения:
4. Теперь, если возьмем одинаковые массы растворов, то получим раствор, концентрация которого будет 61%. Возьмем по 1 кг каждого раствора и выразим количеств вещества в каждом из них. В первом растворе будет 0,01х кг вещества, а во втором – 0,01у кг, при этом масса нового раствора будет равна 2 кг.
5. Когда мы слили два раствора разной концентрации, но одинаковой массы, то получили раствор, концентрация которого 61%. Значит, количества вещества в нем
6. Составим уравнение:
Мы получили систему уравнений
Напомним, что мы ищем массу кислоты в первом растворе, то, что обозначено за х.
Решив систему, найдем значение х=8,7 кг.
Ставьте лайк), если материал был полезен!