1. Решение системы уравнений, где одна из переменных сокращается с помощью простого слоения уравнений.
Заметим, что для решения систем уравнений часто используется прием сложения. Его смысл состоит в том, что при сложении выражений одна из переменных сокращается полностью и в результате мы получаем уравнение относительно одной переменный.
Мы видим, что переменная «у» в первом и втором уравнениях отличаются только знаком. Сложим эти два уравнения и сократим переменную:
Итак, мы получили квадратное уравнение, поэтому оно будет иметь два корня:
На самом деле, квадратное уравнение может иметь два корня, может один, а может и не иметь корней вовсе. В нашем случае мы получили два корня, поскольку
Получается, что оба числа, 1 и (-1), удовлетворяют уравнению x^2=1.
Чтобы записать ответ, нам требуется найти значения «у», соответствующие двум найденным значениям «х».
Подставим два найденных значения «х» и найдем соответствующие два значения «у»:
Решая систему уравнений, мы, на самом деле, ищем точки пересечения графиков двух функций, объединенных в систему. Поэтому решением нашей системы будет две точки, именно их координаты нужно записать в ответ:
Ответ: (-1;1), (1;1)
2. Решение системы уравнений методом сложения с умножением одного из уравнений на число.
Если просто сложить уравнения, как в примере 1, то от этого ничего не сократиться. А нам нужно сократить одну из переменных. Для этого умножим, например, второе уравнение на (-1).
Умножая уравнение на число, обязательно отличное от нуля, всегда умножаем обе части уравнения!
Решая уравнения «через дискриминант», получаем два корня.
Как и в примере 1, подставляем найденные значения в уравнения, чтобы найти «у». Можем подставить найденные значения «х» во второе уравнение изначальной системы.
Анекдот для перезагрузки мозга🤯
На экзамен по физике к особо суровой преподавательнице один студент пришёл с букетом роз. Буквально растаяв от такого проявления внимания, физичка минут пять бегала по корпусу в поисках ёмкости под цветы, ещё минут пять наливала воду.
Тем лопухам, которые за 10 минут её отсутствия не сумели списать ответ на билет — не место в университете, однозначно!
3. Решение систем квадратных уравнений методом подстановки. Хитрый способ.
Метод подстановки заключается в следующем:
1) Из одного уравнения выражаем одну из переменных через другую (х=-5+у)
2) Подставляем полученное выражение в другое уравнение, заменяя им ту переменную, которую выразили (в нашем случае это переменная «х»):
3) Решаем уравнение, где в качестве переменной переменная «у».
4) После того как нашли «у», подставляем это найденное значение в х=-5+у и находим «х».
Это был бы беспроигрышный вариант решения, который занял бы у нас много драгоценного времени. К тому же, нам бы пришлось решать замысловатые квадратные уравнения, раскрывать скобки. Возводя в степень. Хорошо, но долго. Поэтому, мы пойдем другим путем.
Заметим, что во втором уравнении можно легко выделить полный квадрат многочлена (х-у). Сделаем это:
Добавив игрек в квадрате в выражение (выделено желтым), мы его сразу же вычли (выделено синим), чтобы ничего не нарушить. А третий игрек в квадрате там и был, мы его оставили на месте.
Из первого уравнения мы знаем, что х-у=-5, значит (х-у)^2=(-5)^2=25. Подставим это значение в выражение (*):
Существует два числа, которые, при возведении в квадрат, дают результат 4. Это 2 и (-2).
Поэтому уравнение имеет два корня: у1=-2, у2=2.
Осталось найти значения «х», подставив в х=-5+у найденные значения «у». Получаем, что
Записываем ответ в виде координат точек пересечения: (-7;-2), (-3;2).
Ставьте лайк), если материал был полезен!