1. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 16√3 . Найдите длину стороны этого треугольника.
Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним необходимую теорию.
Поскольку треугольник равносторонний, все его углы равны между собой и равны 60 градусов.
В треугольнике АВН угол Н прямой, а угол А равен 60 градусов. Это значит, что
Так мы вывели формулу нахождения стороны равностороннего треугольника через высоту (которая, кстати, является также медианой и биссектрисой).
Однако в условии нам дан радиус вписанной окружности. Вспомним, что высота равностороннего треугольника равна трем радиусам вписанной окружности.
Таким образом, из равенств (1) и (2) следует, что чтобы найти сторону равностороннего треугольника, зная радиус вписанной окружности, нужно применить формулу
Вернемся к решению задачи, которая теперь решается в одно действие:
2. Точка 𝑂 является серединой стороны 𝐶𝐷 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷. Радиус окружности с центром в точке 𝑂, проходящей через вершину 𝐴, равен 9. Найдите площадь квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Эта задача не про вписанный треугольник, а про прямоугольный треугольник, построенный внутри квадрата так, что один его катет (AD) есть сторона этого квадрата, а второй катет (DO) – половина этой стоны.
Таким образом, используя теорему Пифагора, запишем равенство, из которого найдем квадрат стороны квадрата, т.е. искомую площадь.
Сказать автору "Спасибо!" можно посредством лайка) и в комментариях, а найти ещё что-то полезное для подготовки к ОГЭ можно перейдя по ссылкам ниже: