В девятом классе на место привычного и понятного прямоугольного треугольника вместе с его синусом, косинусом и тангенсом с котангенсом приходит она - единичная окружность. В ней невероятным образом также, как и в треугольнике, стойко ассоциирующимся с Пифагором, уживаются уже известные тригонометрические функции.
Кроме этого, в 9 классе появляются формулы приведение, запоминать которые - то еще удовольствие. Сегодня мы покажем, что, на самом деле, зубрить их не нужно. Они вполне понятны.
Вот эти формулы:
Докажем первую из них.
Эти две формулы доказываются аналогично. Для доказательства того, что косинус альфа есть синус девяносто минус альфа, рассмотри прямоугольные треугольники ABC и ADE и докажем, что они равны.
Доказательство построим на основе второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а именно докажем, что
AD=AB
Угол DAE равен углу ABC
Угол AED равен углу ACB.
1. Поскольку треугольники построены внутри единичной окружности, их гипотенузы, как радиусы этой окружности, равны, т.е. AD=AB.
2. Угол DAE по условию равен 90 минус альфа.
В прямоугольном треугольнике ABC угол ABC также равен 90 минус альфа, поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. Таким образом, угол DAE в треугольнике ADE равен углу ABC в треугольнике ABC.
3. Угол AED равен углу ACB, поскольку это два прямых угла в прямоугольных треугольниках.
Таким образом, треугольники ABC и ADE равны и ВС=AE, AC=DE.
Напомним одно из основных свойств треугольников: в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.
Ось ординат, т.е. ось y, соответствует оси синусов, а ось абсцисс, ось x, - оси косинусов. Так и получается, что косинус угла альфа, т.е. отрезок АС, равен синусу угла 90-альфа, т.е. отрезку DE.
Аналогично, синус угла альфа, т.е. отрезок BC, равен косинусу угла 90-альфа, т.е. отрезку AE.
Что и требовалось доказать.
Теперь докажем, что
На картинке видно, что синусы углов альфа и 90 минус альфа, равные соответственно отрезкам АВ и CD, совпадают. Покажем это.
Напомним, что положительным направлением считается направление против часовой стрелки, а отрицательным – по часовой стрелке.
Таким образом, если мы движемся по числовой прямой вправо, то угол вычитается, и если влево – то прибавляется.
Итак, мы доказали, что треугольник AOB равен треугольнику BOC (по двум углам – прямому и острому, гипотенузам, равным единице, и катетам АB и DC). Таким образом, катеты AO и DO равны.
Косинусом угла 180 минус альфа является отрезок AO, а косинусом угла альфа – отрезок OD. Поскольку отрезки равны, но находятся по разные стороны от начала координат, то
И про тангенс с котангенсом...
Тангенс угла альфа - это отношение катетов AB к AO, или синуса угла альфа к косинусу угла альфа. Тангенс угла 180 минус альфа – отношение CD к OD, или синуса угла 180 минус альфа к косинусу угла 180 - альфа. Поскольку угол альфа тупой, то его косинус принимает отрицательное значение (это видно на рисунке).
Угол 180 минус альфа – острый, поэтому его косинус положителен.
Таким образом, числовое значение косинусов и синусов углов альфа и 180 минус альфа совпадает, но они имеют противоположные знаки.
Ставьте лайк), если материал действительно был полезен!