Теорему синусов, также как и теорему косинусов, используют для решения треугольника.
Подробнее о решении треугольника можно прочитать здесь.
А здесь теорема косинусов, если вдруг забылась...
С помощью теоремы синусов, зная, например, две стороны и угол, прилежащий к одной из них (или его синус), можно найти остальные углы треугольника.
Вот она, эта теорема:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.
Запишем это в виде формулы:
Где R – радиус описанной окружности.
Доказательство.
Для того чтобы доказать теорему, построим описанную около треугольника АВС окружность и выразим ее диаметр (который равен двум радиусам, т.е. 2R) через синус угла треугольника.
Заметим, что поскольку окружность описана около треугольника, а, значит, треугольник вписан в окружность, то все углы этого треугольника являются вписанными в окружность углами.
Также вспомним, что если вписанные в окружность углы опираются на одну и ту же хорду, то они равны.
Угол альфа равен углу бета, поскольку они опираются на одну хорду АВ.
Заметим, что теорема синусов, также как и теорема косинусов, справедлива для любого треугольника. Т.е. она применима и для прямоугольного, и остроугольного, и тупоугольного треугольника.
Рассмотрим вписанный в окружность треугольник ADB.
Для начала докажем, что его сторона АВ, которая также является хордой окружности, равна произведению диаметра окружности на синус любого вписанного угла, который на нее опирается, т.е.
где АС – диаметр описанной около треугольника ADBокружности.
Действительно, угол С равен углу D, поскольку они опираются на одну и ту же хорду АВ. Это значит, что формулу (1) можно переписать в виде
Чтобы это доказать, рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
Поясним, что градусная мера угла С будет равна 90 градусов, т.к. он опирается на диаметр, который, в свою очередь, стягивает дугу, равную половине окружности, т.е. 180 градусам.
Как известно, вписанный в окружность угол равен половине дуги, на которую опирается. Т.к. угол С опирается на дугу, равную 180 градусам, сам он равен 90 градусов, т.е. является прямым.
Итак, в прямоугольном треугольнике АВС АС – гипотенуза, а значит синус интересующего нас угла С есть отношение противолежащего к нему катета АВ к гипотенузе, т.е.
Умножив это отношение на диаметр окружности, который и является гипотенузой, получим катет АВ:
Это же соотношение справедливо и для других сторон треугольника ABD. Докажем это на примере стороны AD:
Для доказательства того, что формула (2) выполняется для стороны AD, рассмотрим прямоугольный треугольник ADC с прямым углом D.
Таким образом, диаметр описанной около треугольника ABD окружности равен отношению его сторон к синусам противоположных углов, или
Теорема доказана!