Теорема косинусов – это один из инструментов, используемых для решения треугольника.
Решить треугольник, значит найти все его шесть элементов – три угла и три стороны.
С помощью теоремы косинусов можно найти одну сторону треугольника, если известны две другие стороны и косинус угла между ними.
Также с помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла (а через него и сам угол), если известны все три стороны треугольника.
Заметим, что теорема косинусов справедлива для любого треугольника – и для остроугольного, и для тупоугольного, и для прямоугольного.
Доказательство теоремы косинусов.
Докажем, что квадрат стороны BC равен разности суммы квадратов двух других сторон и их удвоенного произведения на косинус угла между ними.
Поскольку угол А может быть как острый, так и тупой и даже прямой, то будем рассматривать отдельно эти три случая. Начнем с самого простого, когда угол А равен 90 градусов, т.е. треугольник АВС является прямоугольным треугольником.
Из теоремы Пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.
По теореме косинусов ВС в квадрате будет равна той же сумме АВ в квадрате и АС в квадрате, но еще и минус 2АВАС*cosA.
А поскольку угол А прямой, т.е. его градусная мера равна 90 градусов, то его косинус равен нулю. Таким образом, произведение 2ABAC*cosA обращается в нуль.
Таким образом, теорема доказана для случая когда угол А прямой.
Теперь докажем случай, когда угол А острый, и сам треугольник будет остроугольным. Т.е. в треугольнике ABC не будет тупого угла.
Из угла В проведем высоту BD, т.е. угол BDC будет прямым.
Заметим, что в остроугольном треугольнике любая высота будет лежать внутри треугольника.
Теорема косинусов связывает между собой три стороны треугольника. Поэтому для ее доказательства мы будем использовать в качестве связующего звена высоту BD, являющуюся катетом прямоугольного треугольника BDC.
Запишем для треугольника BDC теорему Пифагора, а затем заменим его катеты на их выражение через стороны исходного треугольника ABC.
Теперь подставим получившиеся выражения сторон треугольника BDC через стороны треугольника ABC в (*):
Раскроем скобки, не забывая про формулы квадрата разности (с ее помощью будут раскрыты вторые скобки).
Сложим подобные слагаемые – АВ в квадрате умноженное на синус в квадрате А и АВ в квадрате умноженное на косинус в квадрате А. Вынесем общий множитель АВ в квадрате за скобки и применим основное тригонометрическое тождество.
Подставим полученное выражение в (**)
Итак, теорема доказана для случая, когда угол А острый.
Остался третий случай, когда угол А тупой, а треугольник ABC, соответственно, тупоугольный.
Как известно, если в треугольнике есть тупой угол, то он может быть только один. Таким образом, угол ABC оказывается острым, а высота, проведенная из вершины B – лежит вне треугольника ABC.
Доказательство будем проводить тем же путем, что и в предыдущем случае. А именно, запишем теорему Пифагора для треугольника DBC, а затем подставим в эту запись вместо катетов BD и DCих выражения через стороны треугольника ABC. Таким образом мы получим выражение стороны BCчерез стороны BAи AC.
Прежде заметим, что синус угла BAC по формулам приведения равен синусу угла DAB.
Подробно о формулах приведения можно прочитать здесь.
Как и в предыдущем случае, слагаемые АВ в квадрате умножить на синус в квадрате угла ВАС и АВ в квадрате умножить на косинус в квадрате ВАС равны АВ в квадрате (по основному тригонометрическому тождеству).
Теорема полностью доказана!
Лайк + подписка = ещё больше полезных материалов с подробным разъяснением из школьной математики!