Напомним, что иррациональными числами называются бесконечные непериодические дроби, т.е. такие дроби, которые имеют бесконечное количество знаком после запятой.
Однако, если количество знаков после бесконечное, но они повторяются с определенной периодичностью, то такую дробь мы отнесем к рациональным числам.Например, 1,377777… = 1,3(7) – «одна целая, три десятых и семь в периоде».
Представить десятичную дробь 0,(15) в виде обыкновенной дроби.
Решение этого задания представлено в учебниках в виде относительно несложного процесса, который можно представить в виде алгоритма:
1. Обозначаем данную периодическую дробь как «х»: 0,(15) = х.
2. Умножаем «х» на 100: 100х = 15,(15) (при умножении на 100 запятая сдвигается на такое количество знаков вправо, сколько нулей у сотни, а поскольку дробь «имеет бесконечный хвост» из чисел «15», то после запятой в числе 15,(15) остается тот же «бесконечный хвост»).
3.Умножеаем х на 10000: 10000х=1515,(15)
4. Вычитаем: 10000х-100х = 1515,(15) – 15,(15).
Получаем уравнение 9900х=1500,
х = 1500/9900
х = 5/33.
Вроде бы, все просто, но, встретившись с дробью типа 12,(137) и умножив ее, по алгоритму, на 100, а затем на 10000 мы, увы, не поучим желаемого результата:
100х = 1213, (7)
10000х = 121371,37(137).
При попытке вычитания мы обнаружим, что «иррациональные хвосты» не сократятся. В чем же дело?!
А хитрость решения таких задач заключается вот в чем: сначала мы умножаем на такое число, чтобы сдвинуть запятую до конца периода. В первом примере мы умножали число 15, (15) на 100, т.к. период состоит из двух чисел.
Затем мы умножаем это же число уже на 100^2=10000. Таким образом, таким образом, после запятой остается «весь иррациональный хвост», который сокращается при вычитании.
Покажем это на примере числа 12,(137):
1000х = 12 137,(137)
1 000 000х = 12 137 137, (137)
1 000 000х – 1000х = 12 125 000
х =12 125 000/999 000
х = 12 125/999 = 12 137/999
Заметим, что исходная иррациональная дробь 12, (137) имеет целую часть «12». Это значит, что получившаяся обыкновенная дробь должна оказаться неправильной.
Сказать "Спасибо!" автору можно с помощью лайка и в комментариях!