Прежде чем перейти к решению задач, вспомним основную теорию.
1) Стороны в подобных треугольниках попарно равны, а стороны, лежащие напротив равных углов, пропорциональны.
2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия, т.е.
3) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.
4) Медианы треугольника точкой пересечения делятся пополам.
Заметим, что MN – средняя линия, параллельная стороне АС. Это значит, что АС=2MN, т.е. отрезок MN в 2 раза меньше отрезка АС.
1. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках M и N соответственно, АВ=28, АС=24, MN=18. Найдите АМ
Решение
Искомый отрезок АМ является частью известного отрезка АВ. Значит, для его нахождения, нужно найти отрезок МВ, принадлежащий треугольнику MBN.
Рассмотрим треугольники АВС и MNB.
Задачи, где в треугольниках проведена прямая, параллельная одной из сторон, рекомендуется начинать решать с обозначения равных углов.
Когда равные углы обозначены, можно составлять отношения соответственных сторон:
Составляя пропорцию из соответственных сторон двух треугольников, важно случайно не «перевернуть» ее, т.е. если сверху, например, треугольник АВС, а снизу треугольник MNB, то эта последовательность должна быть соблюдена.
Теперь подставим известные значения в получившуюся пропорцию, из которой найдем MB:
Осталось найти АМ через разность АВ – МВ = 28 – 21 = 7.
Ответ: АМ = 7.
2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках M и Nсоответственно, АС=21, MN=14. Площадь треугольника АВС равна 27. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
Равные углы и соответственные стороны мы установили в предыдущей задаче. Поэтому, обращаясь к пункту 2) теории, составим пропорцию
3. Точки M и N являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке О, AN=24, CM=15. Найдите АО.
Решение
Соединим середины сторон АВ и ВС отрезком MNи получим среднюю линию MN. Поскольку MN, как средняя линия, есть половина стороны АС, т.е. ½ АС = MN, то
Рассмотрим подобные треугольники АОС и MNO, у которых
Таким образом, каждый из отрезков СМ и AN разделен на три части в отношении 2:1. Например,
Аналогично найдем АО:
Решить эту задачу можно гораздо проще, обратившись к пункту 4) теории.
4. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опущена высота СН, АН=2, ВН=18. Найдите СН.
Решение
Заметим, что треугольники АСН и ВСН подобны и
5. Диагонали АС и BD трапеции АВСD с основаниями BC и AD пересекаются в точке О, ВС=6, AD=13, АС=38. Найдите АО.
Решение
Обозначим равные углы и запишем равенство отношений соответственных сторон треугольников AOD и BOC.
Заметим, что отмеченные на рисунке равные углы являются накрест лежащими при параллельных прямых ВС и AD и секущих BD и АС (именно по этой причине они равны).
Частая ошибка! Углы АВD и ВDС не равны, также, как и углы ACD и BAD. Не смотря на то, что эти углы также будут накрест лежащими, они образованы не параллельными прямыми (АВ не параллельно СD).
Подставим имеющиеся данные в пропорцию:
Здесь можно рассуждать так: если АС = АО+ОС и АО/ОС как 13/6, значит АС поделено на 13+6=19 частей, где на АО приходится 13 частей, а на ОС – 6 частей.
Таким образом, 1 часть = АО/19 = 38/19 = 2.
Следовательно, АО = 13*2 = 26.
Сказать автору "Спасибо!" можно посредством лайка) и в комментариях!
А здесь есть еще материалы для подготовки к ОГЭ