1. Понятие подобных фигур вводится в курс школьной геометрии в 8 классе и используется в решении задач вплоть до 11 класса.
По определению, данному в учебнике, треугольники называются подобными, если
· их углы соответственно равны;
· стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Сходственными называются стороны, лежащие напротив равных углов в подобных треугольниках.
2. Признаки подобия. Треугольники подобны, если…
1) Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
или
2) Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны
или
3) Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
3. Отношение площадей и периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия
4. Биссектриса и пропорциональность сторон треугольника
Доказательство:
1) Площадь треугольника АВМ можно вычислить по формуле:
По той же формуле можно вычисли площадь треугольника МВС, значит, отношение их площадей можно представить
Рассмотрим задачу из контрольной работы для 8 класса для тех, составленной по учебнику Атанасян.
Решение
1) Заметим, что угол А равен углу В. Это накрест лежащие углы при прямых АС и ВD и секущей АВ, значит АС параллельно ВD.
Из параллельности АС и ВD следует, что угол С равен углу D
На самом деле мы могли и не прибегать к свойству углов, образованных параллельными прямыми и секущей, а обратиться к теореме о сумме углов в треугольнике.
2) Так как углы у треугольников АОС и ВОD равны, то они подобные. Их сходственные стороны лежат напротив соответственно равных углов:
Из полученной пропорции выразим и найдем отрезок ОВ:
3) АС и ВD – это сходственные стороны в подобных треугольниках (т.к. находятся напротив равных углов), поэтому их отношение равно отношению других сходственных сторон, например СО:DО.
4) Отношение площадей подобных треугольников есть квадрат коэффициента подобия (см. (3)). Поэтому
Как мы уже говорили, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Знание этого факта пригождается в тех случаях, когда неизвестны стороны, треугольника, но известно их отношение к сторонам подобного треугольника. Рассмотрим задачу из контрольной работы по теме «Подобие треугольников»
Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК параллельно АС, ВМ:АМ=1:4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.
Решение
1) Т.к. МК параллельно АС, то соответственные углы равны, т.е. ВМK=DAC, BKM=BCA, угол В – общий.
2) Из пункта (1) следует, что треугольники АВС и МВК – подобны и
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, а коэффициент подобия – это отношение соответственных сторон, например АВ:ВМ.