Подобие треугольников. Теория. Разбор задач.

1. Понятие подобных фигур вводится в курс школьной геометрии в 8 классе и используется в решении задач вплоть до 11 класса.

По определению, данному в учебнике, треугольники называются подобными, если

· их углы соответственно равны;

· стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственными называются стороны, лежащие напротив равных углов в подобных треугольниках.

2. Признаки подобия. Треугольники подобны, если…

1) Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

или

2) Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны

или

3) Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

3. Отношение площадей и периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия

4. Биссектриса и пропорциональность сторон треугольника

Доказательство:

1) Площадь треугольника АВМ можно вычислить по формуле:

По той же формуле можно вычисли площадь треугольника МВС, значит, отношение их площадей можно представить

Рассмотрим задачу из контрольной работы для 8 класса для тех, составленной по учебнику Атанасян.

Решение

1) Заметим, что угол А равен углу В. Это накрест лежащие углы при прямых АС и ВD и секущей АВ, значит АС параллельно ВD.

Из параллельности АС и ВD следует, что угол С равен углу D

На самом деле мы могли и не прибегать к свойству углов, образованных параллельными прямыми и секущей, а обратиться к теореме о сумме углов в треугольнике.

2) Так как углы у треугольников АОС и ВОD равны, то они подобные. Их сходственные стороны лежат напротив соответственно равных углов:

Из полученной пропорции выразим и найдем отрезок ОВ:

Принцип использования пропорции для нахождения любого из ее членов

3) АС и ВD – это сходственные стороны в подобных треугольниках (т.к. находятся напротив равных углов), поэтому их отношение равно отношению других сходственных сторон, например СО:DО.

4) Отношение площадей подобных треугольников есть квадрат коэффициента подобия (см. (3)). Поэтому

Как мы уже говорили, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Знание этого факта пригождается в тех случаях, когда неизвестны стороны, треугольника, но известно их отношение к сторонам подобного треугольника. Рассмотрим задачу из контрольной работы по теме «Подобие треугольников»

Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК параллельно АС, ВМ:АМ=1:4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Решение

1) Т.к. МК параллельно АС, то соответственные углы равны, т.е. ВМK=DAC, BKM=BCA, угол В – общий.

2) Из пункта (1) следует, что треугольники АВС и МВК – подобны и

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, а коэффициент подобия – это отношение соответственных сторон, например АВ:ВМ.

Заметим, что сторона АВ «вмещает» в себя 5 частей, 4 из которых приходятся на отрезок АМ, а одна часть – на отрезок МВ.

Спасибо, что остались на уроке до конца. Ставьте лайк, если было интересно и полезно)