Всем привет!
Совсем недавно на официальном сайте ФИПИ появился демонстрационный вариант ЕГЭ по математике для 2025 года.
Ссылку на скачивание вы можете найти в конце данного разбора, там же находятся ссылки на остальные наши ресурсы: YouTube, RuTube и VK.
Изменений по сравнению с прошлым годом ожидаемо не произошло, поэтому давайте же скорее приступим к решению задач.
Задача 1, формулировка 1
∠ABC опирается на ту же дугу,что и ∠CAD и ∠ABD вместе взятые.
Тогда ∠ABC= ∠CAD + ∠ABD
103° = 42° + ∠ABD
∠ABD=61°
Ответ: 61
Задача 1, формулировка 2
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника:
Sabd = 24/2 = 12
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника:
Sabe = 12/2 = 6
Sbcde = Sabcd-Sabe = 24-6 = 18
Ответ: 18
Задача 1, формулировка 3
∠CBA + ∠CAB+ ∠ACB = 180°, так как углы лежат в одном треугольнике.
∠CBA = ∠CAB, так как треугольник ABC равнобедренный.
2•∠CBA = 180 - ∠ACB = 180 -134 = 46°.
∠CBA = 23°.
∠CBA + ∠CBD = 180°,так как данные углы смежные.
Тогда: ∠CBD = 180° - ∠CBA = 180° - 23° = 157°
Ответ: 157
Задача 1, формулировка 4
Нижнее основание равно 10.
Большая часть средней линии является средней линией треугольника с основанием равном 10. Поскольку длина средней линии равна половине длины основания треугольника, получаем ответ: 10/2 = 5
Ответ: 5
Задача 2, формулировка 1
По клеточкам найдем координаты векторов a и b:
⃑a = {4; 6}
⃑b= {6; -2}
Найдем скалярное произведение векторов:
⃑a*b = Xa•Xb + Ya•Y_b
⃑a*b = 4•6+6•(-2)=24-12=12
Ответ: 12
Задача 2, формулировка 2
Выпишем координаты векторов a и b:
⃑a = {25; 0}
⃑b = {1;-5}
Найдем координаты вектора a-4b:
a-4b = {25-4; 0-4*(-5)}
a-4b = {21; 20}
Найдем длину вектора, вспоминая формулу длины вектора:
|a| = √(Xa^2 + Ya^2 ), тогда
|a-4b| = √(21^2 + 10^2 ) = √841 = 29
Ответ: 29
Задача 3, формулировка 1
Обозначим радиус и высоту первой кружки за R1 и H1, а второй кружки за R2 и H2.
Первая кружка в два раза выше второй, тогда H1 = 2•H2.
Вторая кружка в полтора раза шире первой, тогда R1= 2/3•R2.
Тогда объем первой кружки равен:
Устанавливаем окончательное соотношение:
Ответ: 1,125
Задача 3, формулировка 2
Выпишем формулу площади боковой поверхности пирамиды:
h – апофема (высота равнобедренного треугольника с основанием 10 и боковыми сторонами 13), то есть катет прямоугольного треугольника со сторонами 5 и 13, а значит равна 12 (египетская тройка).
Тогда можем найти площадь поверхности:
Ответ: 340
Задача 3, формулировка 3
Меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3. Объемы фигур относятся друг к другу как куб коэффициента подобия. Вычислим объем большого конуса:
4•3^3 = 4•27 = 108
4 мл жидкости уже налито, найдем, сколько еще необходимо долить:
108 - 4 = 104 мл
Ответ: 104
Задача 4, формулировка 1
Вероятность события – отношение количества благоприятных исходов (m) к общему количеству исходов (n).
Благоприятный исход в данном случае – это поход в магазин, поэтому m = 7.
Общее количество исходов – количество людей всего, т.е. n = 20.
Ответ: 0,35
Задача 4, формулировка 2
Вероятность того, что в салоне автобуса окажется от 15 до 20 пассажиров, численно равна разности вероятности того, что в салоне окажется меньше 20 пассажиров и вероятности того, что в салоне окажется меньше 15 пассажиров:
Ответ: 0,38
Задача 5, формулировка 1
Условие, что хотя бы одна лампа не перегорит не выполняется только тогда, когда перегорят все три лампы. Поэтому для нахождения искомой вероятности необходимо вычесть из единицы вероятность перегорания всех трех ламп:
Вероятность перегорания всех трех ламп – это выполнение трех независимых событий с вероятностью 0,2 каждая:
Находим искомую вероятность:
Ответ: 0,992
Задача 5, формулировка 2
Есть два варианта развития событий. Можно вытащить сначала красный, а потом синий, или же сначала синий, а потом красный.
P(синий+красный) = 5/25•9/24 = 3/40
P(красный+синий) = 9/25•5/24 = 3/40
Так как нас устраивают оба эти события, то сложим их вероятности друг с другом:
P(1 красный и 1 синий) = P(синий+красный) + P(красный+синий) = 3/40 + 3/40 = 3/20 = 0,15
Ответ: 0,15
Задача 6, формулировка 1
Представим 1/64 в виде степени четырех:
Степени с одинаковым основанием равны, когда их показатели степени равны. Переходим к линейному уравнению:
x-7 = -3
x = 7-3
x = 4
Ответ: 4
Задача 6, формулировка 2
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
3x + 49 ≥ 0
x ≥ -49/3
Возведем обе части уравнения в квадрат:
3x + 49 = 100
3x = 51
X = 17
Ответ: 17
Задача 6, формулировка 3
Воспользуемся определением логарифма и сведем уравнение к линейному:
5x + 47= 8^3
5x + 47= 512
5x = 465
x = 93
Ответ: 93
Задача 6, формулировка 4
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значение корня также должно быть неотрицательным:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2x + 3 = x^2
x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
Получаем 2 возможных корня: 3 и -1. Поскольку корень не может быть отрицательным, понимаем, что подходит только один из них: 3.
Ответ: 3
Задача 7, формулировка 1
Вспомним формулу косинуса двойного угла:
Заменим исходное выражение:
Подставим значение синуса:
Ответ: 2,76
Задача 7, формулировка 2
Вспомним свойство логарифмов:
Преобразуем левую часть:
Вспомним еще одно свойство логарифмов:
Преобразуем:
Ответ: 2
Задача 7, формулировка 3
Представим 25 в качестве квадрата 5:
При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
Ответ: 125
Задача 8, формулировка 1
Функция возрастает тогда, когда производная функции больше 0. Перед нами график производной, значит надо посмотреть какие точки лежат выше оси x. Подсчитаем их количество, всего таких точек 6.
Ответ: 6
Задача 8, формулировка 2
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.
На графике уже обозначены точки, достроим их до прямоугольного треугольника. Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
Ответ: -1,4
Задача 9, формулировка 1
Подставим известные данные:
f0 = 295
с= 300
Обратим внимание, что значение f(v) минимум на 5 больше значения f0, а значит не меньше 300, а знак равенства меняется на знак неравенства:
300 ≤ 295/(1- v/300)
Решим данное неравенство:
300 ≤ 295/(1 - v/300)
1 - v/300 ≤ 295/300
-v/300 ≤ (295/300) - 1
-v/300 ≤ -5/300
v ≥ 5
Просят найти наименьшее возможное значение, а значит ответ 5.
Ответ: 5
Задача 10, формулировка 1
Обозначим собственную скорость катера за x.
Скорость по течению будет равна x+1, а скорость против течения составляет x-1. Составим уравнение:
143/(x +1) + 2 = 143/(x - 1)
Домножим каждую часть уравнения на (x + 1)(x - 1):
143(x - 1) + 2(x - 1)(x + 1) = 143(x + 1)
143x - 143 + 2x^2 – 2 – 143x – 143 = 0
2x^2 - 288 = 0
x^2 - 144 = 0
x^2 = 144
x = ±12
Скорость не может быть отрицательной, а значит равна 12.
Ответ: 12
Задача 10, формулировка 2
Обозначим за х массу 45%-го раствора, а за у - массу 97%-го раствора.
Составим уравнение по первому условию:
0.45x + 0.97y = (x + y + 10)0.62
В левой части получившегося уравнения содержится масса "сухого вещества" кислоты смешиваемой, а в правой - получившейся. Поскольку в воде "вещества" не содержится, то 10ка в левой части не фигурирует.
Составим уравнение по второму условию. Здесь воду меняют на 50% раствор кислоты:
0.45x + 0.97y + 0.5•10 = (x + y + 10)0.72
Получили систему из двух уравнений, в которой содержится две переменные. Решим её. Для начала, вычтем первое уравнение из второго:
0.5•10 = (x + y + 10)0.1
Выразим из него х (но можно и y): х = 40 - y. Подставим это значение в первое уравнение, после чего раскроем скобки и найдём у:
0.45(40 - y) + 0.97y = (40 - y + y +10)0.62
18 - 0.45y +0.97y = 50•0.62
0.52y = 31 - 18
y = 13 / 0.52, y = 25.
Возвращаемся к х: x = 40 - y = 40 - 25 = 15
Ответ: 15
Задача 10, формулировка 3
Первая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает x+5 литров в минуту. Составим уравнение:
104/x = 104/(x + 5) + 5
Домножим все части уравнения на x(x + 5):
104(x + 5) = 104x + 5(x + 5)x
104x + 520 = 104x +5x^2+25x
5x^2 + 25x + 104x – 104x – 520 = 0
5x^2 + 25x – 520 = 0
x^2 + 5x – 104 = 0
Применим теорему Виетта:
(x + 13)(x - 8) =0
x1 = -13
x2 = 8
Значение не может быть отрицательным, а значит ответ 8.
Ответ: 8
Задача 11, формулировка 1
Функция g(x) = kx проходит через точку (1;3). Подставим точку и выведем уравнение:
3 = k
g(x) = 3x
Функция f(x) = ax^2+ bx + c. Она проходит через точки (0;0) и (4;0) и (2;-4). Подставим их для нахождения коэффициентов:
0 = 0 + 0 + с
с = 0
f(x) = ax^2 + bx
0 = 16a + 4b
4a + b = 0
b = -4a
-4 = 4a + 2b
-4 = 4a – 8a
a = 1
b = -4
Перепишем формулу: f(x) = x^2- 4x
Для нахождения точек пересечения приравняем уравнения друг к другу:
x^2- 4x = 3x
x^2- 7x = 0
x (x - 7) = 0
x1= 0 (абсцисса уже известного пересечения)
x2= 7 (абсцисса точки B)
Ответ: 7
Задача 12, формулировка 1
Для нахождения минимального значения функции необходимо найти производную данной функции:
y' = 9 - 9•1/(x + 11)
Приравниваем производную к 0 для нахождения точек экстремума функции:
9 - 9•1/(x + 11) = 0
1 = 1/(x + 11)
(x + 10)/(x + 11) = 0
x = -10
Минимум функции в точке с абсциссой = -10:
y=9*(-10) - 9 ln(-10 + 11) + 7
y=-83
Ответ: -83
Задача 12, формулировка 2
Для нахождения минимального значения функции необходимо найти производную данной функции:
Приравниваем производную к 0 для нахождения точек экстремума функции:
Применим теорему Виетта:
Точка максимума находится в x = -6.
Ответ: -6
Задача 12, формулировка 3
Для нахождения минимального значения функции необходимо найти производную данной функции
Приравниваем производную к 0 для нахождения точек экстремума функции:
Получаем x^2 - 256 = 0
(x- 16)(x + 16) = 0
x1 = -16
x2 = -16
Точка минимума находится в x = 16.
Ответ: -83
Надеемся, что этот разбор был полезным для вас! Совсем скоро мы будем разбирать задания второй части. Подписывайтесь, чтобы не потерять :)
- Ссылка на скачивание демонстрационного варианта: https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2025/ma_11_2025_proekt.zip
- ПростоЕГЭ в YouTube: https://www.youtube.com/@SimpleEGE
- ПростоЕГЭ в RuTube: https://rutube.ru/channel/43606715
- ПростоЕГЭ в VK: https://vk.com/prostoege2025
