В остроугольном треугольнике ABC длины медианы AM и высоты BH равны и ∠ABH=∠BAM. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
Решение. Обозначим через X точку пересечения отрезков AM и BH. Так как ∠ABH=∠BAM, то треугольник ABX равнобедренный, откуда AX=BX. Поскольку AM=BH, то отсюда следует, что MX=HX.
В треугольниках AXH и BXM углы при вершине X вертикальные, поэтому эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ∠BMX=90∘ (как и АНХ). Таким образом, в треугольнике ABC высота из вершины A совпадает с медианой, поэтому треугольник ABC равнобедренный и AB=AC.
Треугольники ABH и BAM равны по первому (как и по второму) признаку равенства треугольников, поэтому в треугольнике ABC равны углы при вершинах A и B. Следовательно, AC=BC. Из двух полученных равенств следует, что в треугольнике ABC все стороны равны, то есть он равносторонний.
