Задание
Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:
|y| ≤ sin²x + 1
Решение
Для решения задачи построим сначала график функции
y = sin²x + 1
Проведём с её выражением следующие преобразования:
y = sin²x + 1 = ½ – ½·cox 2x + 1 = ³/₂ – ½·cox 2x
Построение графика y = – ½·cox 2x было рассмотрено ранее при разборе решения задачи А-25. Если его «поднять» на полторы единицы вверх, то как раз получится график y = sin²x + 1 (рис. 1).
Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0.
1) y ≥ 0
Тогда |y| = y и исходное неравенство запишется в виде
y ≤ ³/₂ – ½·cox 2x
Данному неравенству удовлетворяет область, содержащая все точки, расположенные не выше графика функции y = ³/₂ – ½·cox 2x, а с учётом требования y ≥ 0 это будут точки только первого и второго квадрантов, лежащие не ниже оси абсцисс. Иными словами, это будут точки, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (рис. 2):
2) y < 0
В этом случае |y| = – y и
–y ≤ ³/₂ – ½·cox 2x или y ≥ –(³/₂ – ½·cox 2x)
Последнему неравенству удовлетворяют все точки, расположенные не ниже графика функции y = –(³/₂ – ½·cox 2x) (или равнозначной ей y = –(sin²x + 1) ), который представляет собой зеркально отражённый «вниз» относительно оси абсцисс график y = ³/₂ – ½·cox 2x. При этом (из-за того, что требование y < 0 является строгим неравенством) сами точки будут находиться под осью абсцисс (рис. 3).
Ответом в задаче будет объединение двух получившихся областей – искомым множеством является бесконечная фигура, внешне напоминающая профиль известной сладости «чурчхела».
Ответ
Комментарий
Отталкиваясь от результата рассмотренной выше задачи, можно сформулировать общее правило для решения подобных упражнений: множество точек, координаты которых соответствуют условию |y| ≤ f(x), представляет собой фигуру, заключённую между линиями графика уравнения
|y| = f(x) (алгоритм построения такого графика был рассмотрен в комментарии к задаче А-25).
С учётом этого правила можно предложить целый ряд усложнённых версий задач А-11, А‑16, А-17, А-18, А-19, А-20, А-21 и А-22. Например, решение модифицированного упражнения А-11 (изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют требованию |y| ≤ sin x ) будет выглядеть так:
Для остальных усложнённых вариантов указанных задач условия выражаются следующими неравенствами:
В случае каждой из перечисленных здесь задач, где фигурирует дробная часть числа {x}, и с учётом комментария к заданию А-25 получается своя мини-серия, представляющая ряд последовательно усложняющихся упражнений. Так, например, в случае А-17 это такая группа:
а) построить график функции: y = |{x} – ½|
б) построить график уравнения: |y| = |{x} – ½| (или равносильного ему
y² = ({x} – ½)², разбор решения опубликован отдельно в виде задачи А-24)
в) изобразить на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию: |y| ≤ |{x} – ½|
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.