Кто-то из вас может удивиться, что тут такого. Так как полиномы Чебышева являются одним из видов обычных многочленов, то взять их элементарно просто. И я с вами соглашусь. Но, как мы убедились в статье “Полиномы Чебышева. Свойства. Часть 1” полиномы Чебышева, если их аргумент принадлежит интервалу [-1; 1], то их уравнения можно записать в тригонометрической и параметрической форме. А это даст нам интересные результаты.
Продифференцируем многочлен Чебышева первого рода. Так как мы будем дифференцировать его, когда его аргумент не менее -1 и не более 1, то можем для него записать следующее параметрическое уравнение:
Из Математического анализа известно, что дифференциал по x, функции, заданной параметрическим уравнением, вычисляется по формуле:
Подставляя в эту формулу наше уравнение, получим:
В статье “Полиномы Чебышева. Рекуррентные формулы” мы определили полиномы Чебышева второго рода следующим образом:
Подставляя это выражение в выражение дифференциала полинома Чебышева первого рода, получим:
Теперь найдем производную или дифференциал от полиномов Чебышева второго рода n степени. Для этого мы запишем параметрическое уравнения для этого полинома:
По вышеприведенной формуле находим дифференциал полиномов Чебышева второго рода n степени по x, получим:
или
К последним двум членам в числителе дроби применим формулу синуса разности двух аргументов (смотри статью “Тригонометрические формулы от суммы аргументов”):
поэтому подучим:
Так как синус нечетная функция, то есть:
то получим:
Первый член в скобках – это полином Чебышева первого рода n+1 степени от косинуса t, а второй – полином Чебышева второго степени n-1 от косинуса t. То есть мы можем записать следующее выражение:
Освободимся от t, делая замену:
Тогда из основного тригонометрического торжества получим:
Окончательно получим:
В заключении запишем полученные формулы для производных полиномов Чебышева первого и второго рода n степени:
Хотя при выводе этих формул мы пользовались для полиномов Чебышева первого и второго рода n степени мы пользовались параметрическими уравнениями, которые определяют их на следующем отрезке [-1;1], выведенные нами формулы производных можно применять на всей области их определения.
На этом сегодня все.
До новых встреч