Замечание по области определения полиномов.
В предыдущей статье “Полиномы Чебышева. Рекуррентные формулы” мы однозначно определили последовательности полиномов Чебышева первого и второго рода. В этой статье мы разберём некоторые их свойства.
Полиномы Чебышева, как и все многочлены вида:
область определения является вся числовая ось ]-∞; +∞[. Так как значения косинуса лежат в интервале [-1; 1], то нас в первую очередь будут интересовать свойства полиномов Чебышева на данном участке, хотя некоторые могут быть перенесены на всю область их определения.
Полинома Чебышева первого рода
В статье “Полиномы Чебышева. Рекуррентные формулы” мы определили полиномы Чебышева первого рода, которые удовлетворяют следующему выражению:
где n - целое положительное число.
Делая уже знакомую нам по вышеуказанной статье замену:
то полином Чебышева первого рода n степени можно определить следующим тригонометрическим выражением:
Так же, если мы будем рассматривать полином Чебышева n степени первого рода для аргумента исключительно для интервала [-1; 1], то система его параметрических уравнений будет:
Из параметрического уравнения видно, что полиномы Чебышева при аргументе -1≤ x ≥1 являются подмножеством фигур Лиссажу – траектории тела, совершающего одновременно два гармонических колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Полиномы Чебышева второго рода.
В статье “Полиномы Чебышева. Рекуррентные формулы” мы так же определили полиномы Чебышева второго рода, которые удовлетворяют следующему выражению:
Делая вышеуказанную замену, и учитывая, что синус и косинус одного и того же угла связаны основным тригонометрическим торжеством:
Если аргумент полинома Чебышева второго рода n-1 степени принадлежит только промежутку [-1; 1] числовой оси, то для этого случая мы можем написать для данного полинома следующую систему параметрических уравнений:
Основное выражение, связывающее полиномы Чебышева первого и второго рода.
Так как синус и косинус одного и того же связаны угла связаны основным тригонометрическим торжеством синус и косинус nα угла можно выразить через полином Чебышева первого рода степени n и второго рода степени n от косинуса угла α, то мы можем записать следующее функциональное выражение:
Хотя в Википедии это уравнения названо уравнением Пепла, но это не верно, так как согласно другой статье из того же источника уравнения Пепла имеет вид:
где n – натуральное число, не являющееся квадратом.
В нашем случае множитель:
является действительным положительным числом, а если мы решим расширить область определения до комплексных чисел, то может быть и комплексным числом.
На этом сегодня все.
До новых встреч!