Сначала давайте найдем выражение косинуса угла от суммы аргументов. В общем случае надо найти такую функцию от тригонометрических функций косинуса и синуса каждого аргумента, чтобы она равнялась косинусу суммы этих элементов:
Давайте посмотрим на следующий рисунок:
На нем нарисована окружность с радиусом равным единицы. Треугольники OAC и OВС равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC=BD.
Из геометрии известно, если концы отрезка AB имеют координаты A(x1, y1) и B(x2, y2), то его длина или расстояние между точками A и B вычисляются по формуле:
Для удобства заметим, что квадратные корны равны между собой только тогда, когда их выражения, стоящие под соответствующими радикалами равны. Это позволяет в дальнейшем нам избавиться от знака радикала.
Координаты точки A соответственно будут:
а точки C(1,0). Следовательно, квадрат длины отрезка AB будет равен:
или после упрощения, получим:
Координаты точки B будут:
Координата точки D будут такими
Знак минус перед синусом поставлен так как ордината точки D, исходя из рисунка, отрицательна.
Откуда квадрат длины отрезка BD будет равен:
или
Окончательно получим:
Из выше установленного равенства отрезков AC и BD мы можем записать следующее равенство:
После, упрощения получим:
Мы получили формулу косинуса суммы двух переменных через косинус и синус каждого слагаемого.
Теперь найдем разность косинус разности двух аргументов. Так как косинус четная функция, а синус нечетная функция, то формула косинуса разности двух аргументов будет следующая:
Для нахождения синуса суммы двух аргументов воспользуемся формулой приведения:
и
Тогда:
Используя вышеупомянутые формулы приведения, получим:
Умножая последнее равенство на -1, получим:
Мы получили формулу суммы аргумента синуса.
Для вывода формулы синуса разности двух аргументов воспользуемся тем же приемом, что и при выводе формулы косинуса разности двух аргументов:
Теперь давайте найдем тангенс суммы двух аргументов. Для этого воспользуемся следующей формулой:
Тогда для тангенса суммы двух аргументов будем иметь:
В последней дроби числитель и знаменатель поделим на:
Тогда получим:
Давайте теперь выведем котангенс суммы двух аргументов:
Поделим числитель и знаменатель последней дроби на:
Откуда получим:
В заключении выпишем все, полученные нами формулы тригонометрических функций от суммы двух аргументов:
До новых встреч.
Продолжение