Перед нами условие задачи:
Из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9 составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное. Известно, что они оба кратны 45.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205?
б) Может ли сумма этих чисел равна 3435?
в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?
Начнем решение с исследования чисел. Что такое "оба кратны 45"? Это условие подразумевает, что число должно делиться одновременно на 5 и на 9.
Введем обозначения, где a,b,c,d,e,f,g - любая из цифр набора {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}:
Число кратно 9 только если сумма цифр делится на 9. Число кратно 5 только если оно оканчивается на 0 или 5.
Второе условие проще расписать. Давайте сделаем макеты чисел, которые могут подходить под описание:
Оставшиеся цифр (1, 2, 3, 7, 9) должны создать делимость на 9. Начнем с комбинации ab. Никакой вариант кроме 2+7 не сможет сделать из двух цифр сумму, кратную 9. Поэтому a и b - это 7 и 2, причем каждая буква может быть каждой цифрой. Следовательно, d, e, f - это 1, 2, 6 (что тоже в сумме образует число, кратное 9). Выпишем все возможные числа:
Теперь мы полностью готовы отвечать на вопросы задачи.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205?
Сумма десятков - 0. Возьмем все пары, где в одном числе в разряде десятков стоит 3, а в другом 7 (иных вариантов у нас нет):
270+1935 или 270+9135. Первая сумма дает 2205, а вторая уже неважно сколько 😁
Ответ: да, может.
б) Может ли сумма этих чисел равна 3435?
Проще пойти от обратного и из 3435 последовательно вычесть каждое трехзначное число в надежде получить одно из перечисленных четырехзначных.
3435-270=3165 ❌
3435-720=2715 ❌
Ответ: нет, не может.
в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?
Берем наибольшее трехзначное и наибольшее четырехзначное:
720+9315=10035
Ответ: 10035.
Спасибо за внимание!