Глагол "дремать" в русском языке означает "некрепко спать". Ровно то же он выражает и в польском (drzemać), и в чешском (dřímat), и в словацком (zdriemnuť), и в словенском (zadremaj), и в сербском (дремати), и в болгарском (задремя).
Обратный перевод такой же - "дремать, некрепко спать". Никаких дополнительных смыслов. Прошу обратить на это внимание.
Нетрудно восстановить предположительный вид этого слова в праславянском: *дремати. Корень, как ни крути, выходит *дрем, и другого тут взять неоткуда.
Есть (был) в латыни глагол "dormire", его перевод - "спать" (от него современные испанское, французское, португальское "dormir", например). Судя по внешнему сходству и по близости значений мы имеем право сказать, что наш глагол и латинский происходят от общего индоевропейского предка (имеет место регулярная перестановка согласных, такая же, как, например, в нашем "труп" и латинском "torpere" \коченеть, цепенеть\). Находим родственника в санскрите - द्रा [drā] ("спать"). Итого, мы видим, что изначально в праиндоевропейском первым звуком в корне должен был быть, со всей очевидностью, [d].
Но тогда в английском он должен по закону Гримма превратиться в [t]. Как в случае "два"\"duo"\द्व [dvá] - но "two". То есть слово "dream" уже не подходит просто по фонетическому принципу. Если наше "дерево" - у них "tree", наше "драть" - у них "tear", то какая пара должна быть для "дремать"? Явно на букву "t". К сожалению, последний германский родственник тут исчез вместе со средневерхненемецким (там был "tremen").
А чтобы в английском получить звук [d], в праиндоевропейском (а значит и в санскрите) должен стоять звук [dh] (например, санскр. मध्य [mádhya] и англ. "middle"\средний\).
И вот, есть (было) в санскрите слово ध्रुक् [dhrúk] ("враг, чудовище, вред, преследование, обида, оскорбление"). Фонетически подходит, по смыслу не очень. Но вот его авестийский родственник - 𐬛𐬭𐬎𐬑𐬱 [druxš] ("обман, ложь"). И отсюда семантически и фонетически уже лежит мостик к некоторым любопытным германским словам, а именно: "draugur" (исл.) - "привидение" - от древнескандинавского "draugr" ("видение, призрак, нежить"), а также "bedriegen" (нидерл.) - "обманывать".
Вот и сошлось, ведь английское слово "dream", это в первую очередь не спать, а видеть что-то во сне, или просто мечтать, а значит видеть то, чего нет.