Рациональные и иррациональные числа. Основное свойство дроби. Произведение разности двух выражений и их суммы. Сокращение дробей. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Решение:
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – это значит произвести с дробью такие действия, чтобы в её знаменателе были только рациональные числа.
При решении заданий № 432 мы пользовались основным свойством дроби, умножая числитель и знаменатель на квадратный корень из одного и того же числа.
Здесь же ситуация сложнее, так как числитель состоит из двух слагаемых, а не двух множителей. Но мы можем воспользоваться формулой произведения разности двух выражений и их суммы, которую школьники проходили в седьмом классе. Ведь в итоге получается разность квадратов двух выражений. Поэтому, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножим числитель и знаменатель на x – √y.
Аналогичным образом решим остальные примеры.
У чисел 4 и 8 наибольший общий делитель равен 4. Пользуясь основным свойством дроби мы сократили в числителе множитель 4 и в знаменателе множитель 8 на 4 и получили вместо 4 – 1, а вместо 8 – 2.
Ещё с первого класса школьники знают, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. А с пятого класса они знакомятся с правилом, что от перемены мест уменьшаемого и вычитаемого разность меняется на противоположное значение. Например: если от пяти отнять два, то получим три, а если от двух отнять пять, то получим минус три.
5 – 2 = 3;
2 – 5 = –3.
Чтобы при решении примера не возиться со взаимным сокращением отрицательных значений, мы в знаменателе сразу поменяли местами слагаемые √3 и √6.
В примере «д» мы сделали запись короче, без демонстрации возведения квадратного корня в квадрат.
У чисел 14 и 49 наибольший общий делитель равен 7. Пользуясь основным свойством дроби мы сократили в числителе множитель 14 и в знаменателе множитель 49 на 7 и получили вместо 14 – 2, а вместо 49 – 7.