Рациональные и иррациональные числа. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Решение:
В данном учебнике об этом пишется в главе II §4 п. 10 учебника на странице 62. Авторы учебника отмечают, что одно и тоже рациональное число можно представить разными способами. Например, одна вторая и пять десятых – это одно и тоже число. Пять и двадцать четвёртых – это тоже одно и то же число. Ниже отрывок из учебника на странице 62.
Но главное, о чём говориться в этом пункте, это то, что каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Приведём несколько примеров:
Верно и обратное утверждение: каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.
А вот число π, например, рациональным не является. Не является рациональным и √2, так как при извлечении получается бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными числами (глава II §4 п. 11 учебника на странице 69).
Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – это значит произвести с дробью такие действия, чтобы в её знаменателе были только рациональные числа.
Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством дроби и умножим числитель и знаменатель на √х.
Аналогичным образом решим остальные примеры.
В примере «в» мы сделали запись короче, без демонстрации возведения квадратного корня в квадрат.
В примере «е» у чисел 5 и 15 наибольший общий делитель равен 5. Пользуясь основным свойством дроби мы сократили в числителе множитель 5 и в знаменателе множитель 15 на 5 и получили вместо 5 – 1, а вместо 15 – 3.