Почему, собственно, этого совсем не белого зверька зовут белкой?
В корпусе русского языка можно встретить названия векша, веверица - хотя так звали не только белок, но и других пушистых зверьков вроде горностая или ласки.
Чтобы отличить белку от других зверьков, ее стали называть "бѣла вѣверица", откуда и произошло название "белка".
Так, например, у Татищева белка прямо отделяется от прочих вевериц:
А козары, яко рех, брали от полян, северы, вятичь и протчих по белке от дыма и по веверице (ласка или горностай).
[В. Н. Татищев. История российская в семи томах. Том второй (1750)]
И сейчас во многих языках сохранилось это древнее название белки, например в польском - wiewiórka (вевюрка), румынском veveriţă, латышском vāvere.
Эти слова происходят от корня ṷer со значением "крутиться, сворачиваться".
Скорее всего, повторение этого корня образовало форму *ṷe(r)ṷer- , которая в славянских языках перешла в *věverъka/*věverica.
В германских языках белка называлась *aik-werna - дубовая белка, откуда произошли современные названия белки: немецкое Eichhorn, норвежское ekorn, шведское ekorre, датское egern, голландское eekhoorn.
Похожим образом (acquerne) белка называлась и в английском, однако ее вытеснило другое название - squirrel. Оно происходит через нескольких посредников от латинского sciūrus, а то, в свою очередь, от древнегреческого σκίουρος (ски́урос), что буквально переводится как "теневой хвост".