«Весьма удивительно то, что он сделал это исключительно самостоятельно», — рассказала нам профессор математики.
Работа над математическим произведением вдохновила Маурица Эшера к изучению геометрии, несмотря на то, что у него было минимальная математическая подготовка.
Одной из целей Эшера было выразить бесконечность посредством графического дизайна.
Эшер создал повторяющиеся мотивы на основе исторических произведений искусства из Испании, что привело его к открытию геометрических взаимосвязей.
Математика лежит в основе многих произведений Маурица Эшера, поскольку он был одержим идеей описать бесконечность различными способами, создавая бесконечно повторяющиеся мотивы, известные как паркетаж (мозаика), а также мотивы, где показана бесконечная гиперболическая плоскость — поверхность, где все точки пространства отклоняются, распределяясь по кругу.
Но его успех не был результатом природной любви к математике. «Он практически не имел математических навыков», — рассказывает журналу Popular Mechanics Дорис Шатшнайдер, доктор философии, почётный профессор Моравского колледжа. — Он вообще не использовал никаких уравнений. Он почти провалился по математике в средней школе, и дальше средней школы он не пошёл. На самом деле он даже не окончил средней школы. Он провалил выпускные экзамены».
Эшер изучал геометрию через паркетаж, который представляет собой мозаику, которая собирается подобно пазлу, и может заполнить всю поверхность. Шатшнайдер говорит, что его рисунки с паркетажем были вдохновлены совершённым им в 1922 году путешествием в Альгамбру, исламистский исторический объект в Гранаде, Испания.
«Плитки в Альгамбре очень геометоричны, очень абстрактны», — говорит Шатшнайдер. — Он хотел создать мозаику, как он выражался "узнаваемых форм". Он называл их мотивами».
Эшер изучил геометрию плиток Альгамбры, сделал их наброски, и попытался воспроизвести как эти плитки сочетаются и пересекаются друг с другом, говорит Шатшнайдер. Он создавал деревянные фигурки животных и составлял паркетаж, штампуя их под разными углами.
«Весьма удивительно то, что всё это он сделал самостоятельно».
Математические правила таких повторяющихся шаблонов гласят, что шаблон можно сдвинуть, переместив его, что называется трансляцией. Также его можно вращать и отражать; вращение подразумевает вращение всех точек фигуры на определённое количество градусов вокруг центральной точки; отражение подразумевает переворачивание шаблона вдоль фиксированной линии.
«В 1936 году Эшер поехал в Альгамбру во второй раз и сделал цветные рисунки плиток, — говорит Шатшнайдер. — Он создал около дюжины паркетажей, куда входили рыбы, птицы и бабочки».
Шатшнайдер говорит, что Эшер провёл около четырёх лет, работая над «дилетантской теорией» того, как можно сочетать фигуры в мозаичном узоре, который способен заполнить всю плоскость. Она описала этот процесс в книге M.C. Escher: Visions of Symmetry.
Его правила гласят, что:
• каждый кусочек должен быть окружён своими копиями одинаково;
• следует использовать минимальное количество цветов; и
• никакие две соседние плитки не могут иметь одинаковый цвет.
«Он стал очень, очень искусным в создании этих мозаик или мозаик», — говорит Шатшнайдер. — Формы мотивов или фигур в них он придумал сам, но они полностью ограничены геометрическими правилами, которым необходимо было подчиняться, чтобы они правильно сочетались друг с другом. Это довольно удивительная история, что он сделал всё это самостоятельно».
По словам Шатшнайдер, в ходе переписки с Х.С.М. Коксетером, профессором математики из Университета Торонто, Эшер получил по почте вдохновляющую диаграмму. «Внутри круга была мозаика, если хотите, треугольников, которые начинались большими в центре, а затем становились всё меньше и меньше к краям».
Эшер был в восторге от этого рисунка, потому что увидел, что с помощью этой техники можно запечатлеть бесконечность в круге. «Он стал работать над тем, чтобы получить сетку, лежавшую в основе этой мозаики, — говорит Шатшнайдер. — Эта сетка состоит из пересекающихся дуг окружностей, каждая из которых должна пересекать окружающую окружность под углом 90 градусов».
Эшер попросил Коксетера помочь разобраться в схеме дуг, но не смог понять его ответ, поскольку он был слишком техническим. Однако, воспользовавшись советом Коксетера, он смог найти еще одну точку пересечения, что позволило ему выяснить остальное, объясняет Шатшнайдер. Он создал три прекрасных гиперболических мозаики, используя так называемую модель диска Пуанкаре.
Дуглас Данхэм , доктор философии, заслуженный профессор математики из Университета Миннесоты в Дулуте, рассказал журналу Popular Mechanics, что он использовал компьютерную программу для создания конструкций, похожих на модели гиперболических дисков Эшера.
Эшер также экспериментировал со странными перспективами, иногда изображая здания с необычных ракурсов.
«Он говорил: «Почему потолок не может быть полом?» — говорит Шатшнайдер.
Чтобы защитить свою семью от проживания в фашистском окружении в Италии, Эшер покинул Рим, оказавшись в Нидерландах. По словам Шатшнайдер, это привело к изменению его художественного стиля. Ранее он создавал изображения идеализированных голландских пейзажей и городской архитектуры. «В некоторых своих поздних гравюрах он изображает многогранники, ленты Мёбиуса, узлы — все эти красивые геометрические формы. И он очень красиво, даже страстно писал о совершенстве геометрической формы».
«Он сказал: "Я никогда не смогу реализовать то, что вижу во сне", — объяснила Шатшнайдер. — Ни один художник никогда не сможет достичь совершенства».
Автор — Кэт Фридрих (Kat Friedrich) — бывший инженер-механик, которая начинала со специальности прикладной математики, инженерии и физики в Университете Висконсин-Мэдисон. Она имеет ученую степень в области науки и экологической журналистики и является редактором семи новостных изданий.
Перевод — Андрей Прокипчук, «XX2 ВЕК».
Вам также может быть интересно:
