Задача: Окружность, касающаяся большего катета египетского треугольника, проходит через середины двух других его сторон. Найдите длину отрезка х, который она высекает на гипотенузе.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём ML. Поскольку M - середина гипотенузы AC и L - середина катета BC, то ML - средняя линия треугольника △ABC по определению ⇒ ML∥AB и ML = AB/2 = 2.
Проведём хорды MK и LK. По теореме об угле между хордой и касательной ∠AKM = ︶MK/2 ⇒ ∠AKM = ∠MLK (так как опираются на одну и ту же дугу) Однако поскольку ∠AKM = ∠KML (при пересечении ML∥AB секущей MK), то ∠KML = ∠MLK ⇒ △MKL - равнобедренный (см рисунок)
Опустим высоту KH на ML, тогда KHLB - прямоугольник, так как каждый его угол прямой . По св-у р/б треугольника KH - медиана ⇒ HL = ML/2 = 1 ⇒ по св-у прямоугольника HL = BK = 1. AK = 4 - BK = 4 - 1 = 3.
По теореме о квадрате отрезка касательной AM * AN = AK^2 ⇒
5/2 * AN = 9
AN = 18/5
x = AN - AM = 18/5 - 5/2 = 3,6 - 2,5 = 1,1.
Ответ: 1,1.
Задача решена.
