Рассмотрим задачу по геометрии из сборника «10 вариантов» для подготовки к ОГЭ-2024 [1]. Задача сложная, но имеет простое решение. На её примере покажем ещё раз применение метода, который в шутку можно назвать «Не бойтесь вводить "лишние" буквы». Его применению посвящены несколько статей на канале Наблюдатель (Дзен) и на сайте www.shevkin.ru. Лишних букв у нас не будет, мы введём буквенные обозначения, а потом вдруг окажется, что искать значения введённых букв не нужно, так как ответ к задаче легко выражается без этой дополнительной работы.
25. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 30, AC = 100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Нарисуем треугольник ABC и описанную около него окружность. Проведём прямую AO и перпендикуляр к ней BE, он пересекает сторону AC в точке D. При этом BE = FE. Требуется найти длину отрезка CD.
А теперь посмотрим, нельзя ли задачу решить проще. Неизвестная сторона AD и известная сторона AB являются сторонами одного треугольника ABD, у которого есть подобный треугольник AСB. У них есть общий угол A и два равных угла ABF и ACB — они равны как вписанные углы одной окружности, опирающиеся на равные дуги AB и AF. Из пропорции AD : AB = AB : AC получим: AD : 30 = 30 : 100, откуда следует, что AD = 9, CD = 100 – 9 = 91.
Интересно, что после моего сообщения о двух первых способах решения задачи на ежегодном семинаре в ФМШ № 2007 учительница Т. Ю. Куссева рассказала, что они с ребятами обсуждали третий способ решения этой задачи. Приведём и его.
Выполним дополнительные построения, чуть изменив первый чертёж. Проведём хорды BK и CK. Углы ABK и ACK— прямые, они вписанные и опираются на диаметр.
В прямоугольном треугольнике ABK отрезок AE — проекция катета AB на гипотенузу AK, поэтому верно равенство
900 = AK ∙ AE (*).
В четырёхугольнике DCKE противоположные углы E и C — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность с диаметром DK — окружность и диаметр не показаны, чтобы не загромождать чертёж. Отрезки AK и AC — секущие этой окружности, проведённые из одной точки, а отрезки AE и AD — их внешние части. Поэтому верно равенство
AK ∙ AE = AC ∙ AD (**).
Из равенств (*) и (**) следует, что 900 = AC ∙ AD, или 900 = 100 AD, откуда AD = 9, CD = 100 – 9 = 91.
Ответ. 91.
Очевидно, что этот третий способ решения сложнее, чем с подобием треугольников, но он даёт возможность учителю при его разборе повторить с учащимися больше теоретических фактов, что полезно при подготовке к итоговому контролю.
Используемая литература
1. ОГЭ 2024. Математика. 10 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2024.