Нечетные числа и квадраты: как доказать закономерность?

Знали ли Вы, что сумма первых N нечетных чисел равна числу N, возведенному в квадрат?

А между тем эту закономерность легко доказать.

Рассмотрим первые нечетные числа и посмотрим чему равна их сумма.

1=1 (тут одно число, а квадрат единицы равен единице)

1+3=4 (в этом примере два идущих подряд нечетных числа, два в квадрате дает 4, пока все сходится)

1+3+5=9 (в этой строке сложили уже три числа и три в квадрате это 9)

1+3+5+7=16 (здесь складываются четыре числа, и четыре в квадрате равно 16)

1+3+5+7+9=25 (тут пять чисел и пять в квадрате это 25)

1+3+5+7+9+11 = 36 (аналогично, шесть в квадрате равно 36)

1+3+5+7+9+11+13 = 49 (семь в квадрате равно 49)

и так далее.

Заметно, что пока при сложении идущих подряд нечетных чисел получаются точные квадраты. Пока все сходится, но будет ли работать закономерность при любом количестве нечетных чисел?

Для доказательства этой закономерности представим нечетные числа в следующем виде:

Представим нечетные числа помощью уголков

А теперь из этих уголков будем складывать квадраты.

Составляем целые квадраты из уголков

Теперь очевидно, что закономерность будет выполняться для любого количества чисел. То есть, сумма первых N нечетных чисел равна количеству этих чисел, возведенному в квадрат.