Задача: Три стороны вписанного четырёхугольника равны 4, 3 и 5. Найдите ещё одну сторону этого четырёхугольника, если одна его диагональ делит другую пополам.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим равные отрезки AO и OC за a. Рассмотрим △AOB и △DOC:
- ∠AOB = ∠DOC (как вертикальные)
- ∠BAO = ∠CDO (поскольку опираются на одну и ту же дугу)
⇒△AOB ~ △DOC по I признаку подобия треугольников ⇒ BO/OC = AB/CD; BO = OC * AB/CD = 4a/5.
Рассмотрим △AOD и △BOC:
- ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные)
- ∠DOA = ∠CBO (поскольку опираются на одну и ту же дугу)
⇒△AOD ~ △BOC по I признаку подобия треугольников ⇒ x/BC = AO/BO; x = BC * AO/BO = 3 * a/(4a/5) = 15a/4a = 15/4 = 3,75.
Ответ: 3,75.
Задача решена.
