С задачами № 2,3,4 Петя, Витя и Лариса справились за одну ночь. Им открылась удивительная тайна.
В вечности всё возможно.
Вася застрял с задачей № 5. Челночные движения паучка он не использовал. Белые мухи ему тоже не понадобились. Целую неделю он заставлял паучка рыскать по плоскости, отыскивая таящихся в закоулках чёрных мух. Наконец, вся плоскость оказалась охваченной единым движением паучка, похожим на движение по спирали.
Напомним задачу № 2, которая досталась Пете.
Имеется множество пронумерованных прямых с общей точкой пересечения, не обязательно конечное. По прямым ползают мухи, не мешая друг другу. Свою прямую муха не покидает. На точку пересечения прямых прыгает паучок, различающий номера прямых и направления вправо-влево на каждой прямой. Через эту точку он может перебегать с одной прямой на другую. На лапке у него часики. Его скорость больше, чем у любой мухи, но разница может быть сколь угодно малой. Паучок свою скорость не знает и далеко не видит. Мухи от него удирают. Может ли он догнать всех мух?
Вот как рассуждал Петя. Паучок мысленно расставляет убегающих белых мух на каждой прямой и назначает им скорости как в задаче № 1 в варианте с часиками. Для всех прямых он использует одну и ту же последовательность d(1),d(2),… Паучок осуществляет вылазки из начальной позиции (НП) – общей точки пересечения прямых. Пусть в начале погони часики показывают
Рассмотрим сначала случай, когда множество прямых конечно. Пусть M – число прямых. В n-ом цикле погони, n=1,2,… , паучок начинает движение из НП в момент T(n) и бегает последовательно по прямым 1,…,M следующим образом.
Челночный пробег по прямой m:
а) если m=1, то паучок вычисляет начальный момент S(m,n) пробега по прямой m=1 по формуле
б) если m>1, то паучок использует в расчётах финальный момент пробега по прямой m–1
в) затем паучок догоняет на прямой m белую муху с меткой n за время t(1,m,n) и за то же время возвращается в НП, после чего догоняет на прямой m белую муху с меткой –n за время t(2,m,n) и за то же время возвращается в НП, где аналогично выкладкам в задаче 1 (вариант с часиками)
г) вычисляет финальный момент пробега по прямой m
д) при m=M вычисляет начальный момент n+1-го цикла погони
Рассмотрим случай, когда множество прямых бесконечно. В n-ом цикле погони, n=1,2,… , паучок начинает движение из НП в момент T(n) и бегает последовательно по прямым 1,…,n следующим образом (некоторые формулы оказываются такими же, как в случае конечного множества прямых).
Челночный пробег по прямой m:
а) если m=1, то паучок вычисляет начальный момент S(m,n) пробега по прямой m=1 по формуле
б) если m>1, то паучок использует в расчётах финальный момент пробега по прямой m–1
в) затем паучок догоняет на прямой m белую муху с меткой n–m+1 за время t(1,m,n) и за то же время возвращается в НП, после чего догоняет на прямой m белую муху с меткой –(n–m+1) за время t(2,m,n) и за то же время возвращается в НП, где аналогично выкладкам в задаче 1 (вариант с часиками)
г) вычисляет конечный момент пробега по прямой m
д) при m=n вычисляет начальный момент n+1-го цикла погони
В обоих случаях любая пара воображаемых белых мух на каждой прямой, симметрично удаляющихся от НП, а значит, и все реальные чёрные мухи будут настигнуты паучком. Каждая прямая начиная с некоторого цикла погони исследуется паучком и чем больше номер цикла погони, тем больше модули меток белых мух, догоняемых в этом цикле на этой прямой.