Однажды учитель Дум Думыч задал школьникам Пете, Вите и Ларисе на дом задачку.
Прямая проволока без начала и конца размечена с шагом A м. К меткам прикреплены бирки. Направо от метки с биркой 0 расположены метки с бирками 1, 2 и т.д. Налево – метки с бирками –1, –2 и т.д.
По проволоке, не улетая, ползают мухи (возможно, с разворотами и остановками). Ползущая муха преодолевает препятствие в виде другой мухи, как если бы той не было. На проволоку возле бирки 0 запрыгивает паучок, большой любитель догонять мух. Догнал - и продолжает свой путь. Завидев паучка, мухи от него удирают. Далеко вдоль проволоки (дальше нескольких бирок) паучок не видит. Скорость у любой мухи меньше, чем у паучка. Однако, разница скоростей может быть сколь угодно малой. Может ли паучок догнать всех мух на проволоке?
Выйдя из школы, друзья приступили к обсуждению задачи.
– Это просто! – воскликнул Петя. – Пусть паучок побежит сначала направо, догонит всех мух, которые справа, развернётся, побежит налево и догонит всех мух, которые слева.
– А если справа возле каждой бирки по мухе, то он никогда не развернётся. – возразила Лариса. – И потом, даже если множество мух, которые справа, конечно, то как он поймёт, что настиг всех мух из этого множества, если далеко не видит?
– Пусть бегает как челнок туда-сюда. – вмешался Витя. – Добежал до ближайшей мухи, которую ещё не настигал, справа, пометил её, развернулся, добежал до ближайшей мухи, которую ещё не настигал, слева, пометил, развернулся и так далее. Даже если ближайшая муха удирает, находясь на большом расстоянии от него, он её обязательно догонит благодаря большей скорости. Она хоть на малую чуточку, но больше.
– Твой метод челнока, – заметила Лариса, – сработает только в том случае, если и справа, и слева бесконечно много мух и вместе с тем на каждом отрезке проволоки число мух конечно. Но что заставит паучка развернуться, если он исчерпает множество мух справа или слева? Вообрази для простоты, что слева вообще нет мух!
– Я не понял насчёт конечности числа мух на каждом отрезке. – сказал Петя. – Почему это обязательно для метода челнока?
– Представь, что справа и слева мухи просто сидят на расстояниях от паучка, равных (2–1/1)A, (2–1/2)A, (2–1/3)A и так далее без конца, а также на расстояниях (3–1/1)A, (3–1/2)A, (3–1/3)A и так далее без конца. Паучок, избравший метод челнока, будет неограниченно долго бегать между бирками 2 и –2. До мух, скопившихся возле бирок 3 и –3, дело не дойдёт.
Витя и Петя признал правоту мудрой Ларисы. Школьники разошлись по домам в полной уверенности, что паучок в общем случае не сможет догнать всех мух.
Когда на следующий день они рассказали об этом Дум Думычу, он подумал, подумал и сказал:
– Представьте, что паучок умный. Можете даже представить, что у него на лапке миниатюрные часики, по которым он может отмерять промежутки времени любой продолжительности. Изменится ли ваш ответ?
Друзья не смогли сразу найти ответ и вскоре забыли о паучке.
Прошло три года. Дум Думыч терпеливо ждал, что кто-нибудь решит его задачку. Быть может, попробуете Вы, читатель?