Напомним задачу № 3, которая досталась Вите.
Плоскость разбита сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на клетки размером 1 м на 1 м. Среди этих прямых обе координатные оси. Единица измерения по каждой оси 1 м. По прямым ползают мухи, каждая по своей прямой. Паучок запрыгивает в начало координат и может бегать по всем прямым, перебегая с одной на другую через точки их пересечения. На лапке у него часики и он знает свою скорость. Скорость у него больше, чем у любой мухи, но разница может быть сколь угодно малой. Он различает прямые по координатам точек их пересечения с координатными осями, различает направления вправо (рост одной из координат) и влево (убывание одной из координат) на каждой прямой, но далеко не видит. Мухи от него удирают. Может ли он догнать всех мух?
Вот как рассуждал Витя. Пусть n=0,1,2, ... . Горизонтальные прямые с метками n и –n пересекают вертикальную координатную ось в точках с координатами (0,n) и (0,–n). Вертикальные прямые с метками n и –n пересекают горизонтальную координатную ось в точках с координатами (n,0) и (–n,0). Эти точки пересечения естественно считать начальными позициями (НП) паучка при его путешествиях по этим прямым. На вертикальных прямых направление вправо трактуем как вверх, влево – как вниз.
Паучок мысленно расставляет белых мух на каждой прямой и назначает им скорости как в задаче № 1 в варианте с часиками. Для всех прямых он использует одну и ту же последовательность d(1),d(2),… Паучок осуществляет вылазки из начала координат (НК) – точки пересечения координатных осей.
В n-ом цикле погони, n=0,1,… паучок начинает движение из НК в момент T(1,n), гоняется за белыми мухами (этап 1) на горизонтальных прямых с метками
–n,…,–1,0,1,…,n
(перебирая прямые в указанном порядке), возвращается в НК к моменту T(2,n), гоняется за белыми мухам (этап 2) на вертикальных прямых с метками
–n,…,–1,0,1,…,n
(перебирая прямые в указанном порядке) и возвращается в НК к моменту T(1,n+1).
Перед челночным пробегом по горизонтальной прямой с меткой –n паучок подбегает из НК в НП на этой прямой. Завершив челночный пробег по горизонтальной прямой с меткой m<n, паучок перебегает из НП на этой прямой в НП на следующей, а отработав прямую с меткой n, возвращается из НП на этой прямой в НК.
Перед челночным пробегом по вертикальной прямой с меткой –n паучок подбегает из НК в НП на этой прямой. Завершив челночный пробег по вертикальной прямой с меткой m<n, паучок перебегает из НП на этой прямой в НП на следующей, а отработав прямую с меткой n, возвращается из НП на этой прямой в НК.
Пусть в начале погони часики показывают
Челночный пробег по горизонтальной прямой с меткой m (–n≤m≤n) в n-ом цикле погони:
а) если –n=m, то паучок подбегает из НК в НП на этой прямой к моменту времени
б) если –n<m и F(1,m–1,n) – момент завершения путешествия по горизонтальной прямой с меткой m–1, то паучок перебегает из НП на этой прямой в НП на прямой с меткой m к моменту времени
в) догоняет на прямой с меткой m белую муху с меткой n–|m|+1 за время t(1,1,m,n) и за то же время возвращается в НП, после чего догоняет на прямой с меткой m белую муху с меткой –(n–|m|+1) за время t(2,1,m,n) и за то же время возвращается в НП, где аналогично выкладкам в задаче 1 (вариант с часиками)
г) вычисляет момент завершения очередного путешествия по этой прямой
д) при m=n сдвигается из НП на прямой с меткой n в НK к моменту
Челночный пробег по вертикальной прямой с меткой m (–n≤m≤n) в n-ом цикле погони:
а) если –n=m, то паучок подбегает из НК в НП на этой прямой к моменту времени
б) если –n<m и F(2,m–1,n) – момент завершения путешествия по вертикальной прямой с меткой m–1, то паучок перебегает из НП на этой прямой в НП на прямой с меткой m к моменту времени
в) догоняет на прямой с меткой m белую муху с меткой n–|m|+1 за время t(1,2,m,n) и за то же время возвращается в НП, после чего догоняет на прямой с меткой m белую муху с меткой –(n–|m|+1) за время t(2,2,m,n) и за то же время возвращается в НП, где аналогично выкладкам в задаче 1 (вариант с часиками)
г) вычисляет момент завершения очередного путешествия по этой прямой
д) при m=n сдвигается из НП на прямой с меткой n в НK к моменту
Виктория. Все распланировано так, что все воображаемые белые мухи, а значит, и реальные чёрные будут рано или поздно настигнуты паучком. Любая прямая начиная с некоторого цикла погони исследуется паучком и чем больше номер цикла погони, тем больше модули меток белых мух, догоняемых в этом цикле на этой прямой.