Маленький математический этюд
Эту задачку я придумал для старших внуков. Оказалось, еще рано. Площади они ещё не знают. Поэтому решил выложить здесь.
Задача
Дана трапеция ABCD, BC || AD. Как одной прямой рассечь ее на две равновеликие [= одинаковой площади] части?
Ответ
интуитивно очевиден. Пусть K — середина отрезка AD, L — середина BC.
Но тогда требуется Доказательство!
Возможны варианты.
Первое доказательство
очень простое и совершенно скучное. Я даже рассказывать его не хочу. Оно пригодно только в этой конкретной ситуации.
Второе доказательство
немного сложнее, но намного интереснее, богаче идеями и возможностями их развития и применения в других задачах.
Лемма. Длина L хорды трапеции, параллельной основаниям, является линейной функцией высоты хорды h (рис. 2):
L(h) = k ∙ h + b.
Лемма — вспомогательное утверждение, которое может быть полезно и в других рассуждениях.
Доказательство 1. Из равенства треугольников PQR и STU и аналогичных треугольников около правой боковой стороны на рис. 3 видно, что если высота увеличивается на одну и ту же величину, то и длина L изменяется на одно и то же (положительное или отрицательное) приращение. Это определяющее свойство линейной функции. Точнее, если функция обладает этим свойством и непрерывна, то она линейная.
Доказательство 2. Используем длины оснований (рис. 4). Пусть BC = a, AD = b.
Проведем AC' || DC. Из подобия треугольников AC'B и APQ получаем
PQ = C'B ∙ h/H = (b − a)/H ∙ h, а PR = AD = b. Отсюда
L(h) = PR − PQ = b − (b − a)/H ∙ h = b + (a − b)/H ∙ h.
Замечание. Сама формула для функции L(h) может тоже быть полезной, но нам здесь она не нужна. Её также легко можно вывести из самого факта линейности функции, полученного в Доказательстве 1.
Продолжение Второго доказательства. Пусть L_1(h) — длина хорды левой половины, а L_2(h) — правой. Тогда L_1(0) = L_2(0) и L_1(H) = L_2(H). Линейная функция однозначно задается своими значениями при двух разных значениях аргумента (через две разные точки на плоскости можно провести прямую, и только одну). Поэтому L_1(h) = L_2(h) для всех h.
Осталось применить Принцип Кавальери (1629 г., Бонавентура Кавальери, современник Галилея и Торричелли):
Площади двух фигур с равными по длине хордами всех их общих секущих, параллельных прямой, по одну сторону от которой они лежат, равны.
Сам Кавальери это утверждение не доказывал, а использовал как правдоподобное. Полученные с его помощью результаты для "строгого обоснования" подтверждал методом исчерпывания. Но об этом позже.
Если мы захотим получить доказательство на современном уровне строгости (а оно такое возможно), то сначала надо будет разобраться с тем, что такое площадь, и получить теорию меры. Потом построить теорию интеграла. А это уже ни много ни мало 1902 г. (Анри Лебег). Впрочем, можно и попроще. Обойтись мерой Жордана (1892 г.) и интегралом Римана (1854 г.). Но всё равно это непросто.
Мы здесь, естественно, этим заниматься не будем. Но в частном конкретном случае рассматриваемой задачи кое-что можно продемонстрировать. Что такое площадь и длина, будем считать известным.
"Доказательство" принципа Кавальери
только для трапеций.
Имеем 2 трапеции с нижним основанием на одной прямой и с равными хордами, параллельными основаниям и находящимися на одной высоте:
Все величины, относящиеся к левой трапеции, будем обозначать с индексом _1, а относящиеся к правой — индексом _2. Пусть S_1 и S_2 — площади трапеций.
Опишем дополнительные построения для левой фигуры. Разобьем высоту на n равных частей и проведем на соответствующих высотах хорды. На каждой хорде, как на нижнем основании, построим прямоугольник высотой H/n. Площадь ступенчатой фигуры, состоящей из этих прямоугольников, обозначим через P_1.
Нетрудно видеть, что разница между S_1 и P_1 не превосходит суммы площадей двух параллелограммов, обведенных красным на следующем рисунке:
А площади этих параллелограммов можно сделать сколь угодно малыми за счет выбора достаточно большого n. Так что величина |S_1 − P_1| может быть сделана сколь угодно малой при достаточно большом n.
Аналогично для правой трапеции строится ступенчатая фигура, и величина
|S_2 − P_2| может быть сделана сколь угодно малой при достаточно большом n.
Но P_1 = P_2, так как прямоугольники строятся на равных хордах. Получаем, что |S_1 − S_2| ≤ [неравенство треугольника] |S_1 − P_1| + |P_1 − S_2| ≤
≤ |S_1 − P_1| + |P_2 − S_2| и поэтому |S_1 − S_2| меньше любого положительного числа. Отсюда |S_1 − S_2| = 0, S_1 = S_2, Ч.Т.Д.
Обсуждение
1. То, что здесь проведено для доказательства принципа Кавальери, есть в чистом виде метод исчерпывания Евдокса − Архимеда.
2. Попытка распространить применение этих идей на общий случай неизбежно приведет нас к интегралу Римана.
Вот так из полезных частных приемов вырастают мощные математические теории.
3. Геометрия и математический анализ не две изолированные теории, а части единого целого — математики.
4. Когда математики пишут, это часто смотрится занудно:
Для каждого ε > 0 найдется такое натуральное N, что |S_1 − P_1| < ε при всех
n > N.
Особенно в учебниках. Чтобы избежать возможностей разночтения.
Но когда грамотные математики обсуждают что-то между собой, они пользуются образным языком, каждый в другом предполагая способность перевести на более формальный язык. Я попытался здесь использовать этот образный язык.
