… И чтобы окончательно убедиться в продуктивности понятия пространственно-временного интервала между событиями, а также в его практически неисчерпаемой содержательности, продолжим анализ этого понятия, начатый в предыдущей статье из серии публикаций о веществе, времени и пространстве.
Зададимся естественным вопросом о том, какие еще тайны пространства открывает этот поистине универсальный мастер-ключ. В прошлый раз с его помощью удалось, нежданно-негаданно, обнаружить две новые постоянные величины, не без основания, претендующие на место в списке физических констант нашего мира. Первая из них имеет физический смысл и размерность максимально возможной скорости изменения массы материальных объектов, а второй можно сопоставить максимальную линейную плотность вещества образующего пространство мира в данный момент времени.
Обратимся вначале к знакомому всем миру трех измерений. Даже обычному, не искушенному поиском научных истин человеку доступно представление о том, что 3-хмерный мир является пространством одновременных событий, то есть событий, происходящих в одной и той же точке времени. Поэтому правомерно говорить о неявном присутствии времени в описании событий, объединяющих множество объектов в общее для них пространство. Отметим, как очевидное то, что понятие одновременности заслуживает отдельного обсуждения, и в ближайшее время этому будет посвящена специальная публикация, почти готовая для размещения на канале «Физика-блюз», а пока продолжим рассмотрение свойств такого привычного для всех пространства трех измерений.
Итак, событием, наблюдаемым в 3-хмерном мире, является обнаружение того факта, что в нем есть объекты (их много, они существуют одновременно и потому способны взаимодействовать друг с другом). Происходящие с каждой парой объектов события связаны (или если угодно разделены) интервалом, который в мире трех измерений называется расстоянием между объектами.
Геометрия 3-хмерного мира евклидова, и поэтому, если, например, в плоскости XOY декартовой системы координат точки A и B изображают два объекта, наблюдаемые в один и тот же момент времени t1, то расстояние между ними равно длине отрезка AB. Длину такого отрезка можно либо измерить непосредственно линейкой, либо вычислить с помощью теоремы Пифагора, предварительно измерив все той же линейкой координаты точек A и B.
Способ задания квадрата расстояния между двумя точками пространства является одной из основных характеристик пространства любой размерности (тем самым «золотым ключиком от хранилища его тайн») и называется метрикой (или первой квадратичной формой). Обычно, метрика определяется для двух бесконечно близких точек и задается суммой квадратов дифференциалов их координат. Вот как выглядит ее аналитическое выражение в пространстве трех измерений:
Продолжим наблюдение за объектами в мире Евклида и Аристотеля. В следующий момент времени t2, расстояние между объектами, вообще говоря, может измениться. Событие обнаружения объектов и процедуру измерения расстояния между ними можно рассматривать как одно комплексное событие. И тогда это событие, и такое же событие измерения изменившегося расстояния между данными объектами происходят последовательно: первое событие обнаружения объектов (предыдущий «кадр» мировой «анимации»), зафиксированное в момент времени t1, сменяется вторым аналогичным событием (очередным ее «кадром»), проявляющимся в момент времени t2.
Всем интересующимся физикой прекрасно известно, что Герман Минковский сделал присутствие времени в описании событий явным, добавив еще одну координату (числовую ось времени) к трем пространственным осям, и увеличив тем самым размерность мира на единицу (3+1). И сразу же выяснилось, что такой вполне логичный и «безобидный» на первый взгляд ход мысли, привел, тем не менее, к серьезным изменениям в современной физической картине мира.
Введение временной координаты дало возможность наглядного описания не только одновременных событий, происходящих сразу со всем множеством сосуществующих объектов, но и позволило рассматривать последовательные события, происходящие с каждым из них, то есть отслеживать протекание тех или иных процессов с участием одного объекта.
Однако в «оплату» за такую возможность физикам пришлось пожертвовать некоторыми привычными представлениями. Принципиальные изменения, в первую очередь, затронули геометрию 4-хмерного мира, которая перестала быть евклидовой.
Для изображения 4-хмерного мира в нашем распоряжении по-прежнему осталась плоскость, только теперь пространственная ось координат OX «перекочевала» на место пространственной оси координат OY, а место оси OX заняла «ось времени» (ct). Появление у параметра t множителя (c – скорость света) связана с необходимостью согласования размерностей осей координат. Использование этого множителя приводит к тому, что на оси времени откладываются «световые метры», и это позволяет подставлять числовые значения времени в аналитические выражения, где фигурируют расстояния в обычных метрах, чтобы иметь возможность выполнять одни и те же математические операции с подобными разнотипными величинами. Например, так, как это реализуется в выражении для интервала между событиями, происходящими в 4-хмерном мире Минковского.
Согласно рисунку, первое из событий состоит в том, что в момент времени t1 некоторый объект находится в точке A (точке пространства, координата которой равна x1). Второе событие заключается в том, что в другой момент времени тот же самый объект обнаруживается в точке B с пространственной координатой x2. То есть наблюдаемый объект совершил перемещение из одной точки пространства в другую, пройдя расстояние Δx = x2 – x1, и затратив на смену своего положения в пространстве промежуток времени продолжительностью Δt = t2 – t1.
Итак, речь здесь идет о последовательных событиях, происходящих с одним и тем же объектом, который совершает перемещение в пространстве. Очевидным признаком того, что отслеживается перемещение того же самого объекта, что и в начальный момент времени, является постоянство его массы.
Другими словами, если 3-хмерный мир, как уже было сказано, представляет собой пространство одновременно происходящих событий (одну и ту же «точку времени» для всех сосуществующих объектов), то 4-хмерный мир можно считать пространством-временем событий, происходящих в одной и той же «точке оси вещества» (с одним и тем же объектом). В связи с последним обстоятельством, имеет смысл добавить эту ось к трем пространственным и одной временной осям координат мира Минковского. Такой очередной и не лишенный логики ход позволит сделать явным присутствие массы в описании событий. Возьмем эту возможность на заметку, но о массе, выступающей в роли пятой координаты мира, поговорим немного позже, а сейчас вернемся к интервалу между событиями, происходящими в мире 4-х измерений. Какие еще из тайн этого мира поможет открыть его метрика?
Как уже было отмечено выше, интервал между событиями 3-хмерного мира, или расстояние между объектами, позволяет вычислить теорема Пифагора (например, в плоскости XOY):
Причем мир устроен так, что кто бы ни делал вычисления пройденного данным объектом расстояния AB , полученный им результат обязательно совпадет с тем, который был получен любым другим измерителем (наблюдателем). Так происходит даже, несмотря на то, что один из измерителей может обнаружить переместившийся объект в другой точке: не в точке B, как первый наблюдатель, а, например, в точке C (AC = AB, хотя измеренные вторым наблюдателем изменения координат не совпадают с результатами измерений, выполненных первым наблюдателем: dxc≠ dxb и dyc ≠ dyb).
Геометрически инвариантность (неизменность) расстояния AB (или интервала ds между событиями, произошедшими в точках A и B) означает, что событие B может находиться где угодно на окружности (ведь математически выражение для интервала представляет собой именно уравнение окружности). Это может быть, например, точка D или еще какая-либо точка этой замкнутой кривой.
Однако, вообще говоря, мы не можем утверждать априори, что теорема Пифагора с тем же успехом и обосновано с физической точки зрения применима к интервалу в 4-хмерном мире. Поэтому возникает проблема выбора математической операции, используемой в выражении для метрики мира Минковского. Очевидно, что это может быть либо операция сложения квадратов дифференциалов координат двух бесконечно близких событий, как это было в 3-хмерном мире, либо операция их вычитания:
Проблема выбора типа метрики в 4-хмерном мире является следствием существования в нем не только неподвижных, что характерно для 3-хмерного мира, но и движущихся наблюдателей. Так что «простая», казалось бы, замена пространственной координатной оси осью времени на деле наполняет чисто геометрическую процедуру измерения расстояний физическим смыслом и содержанием.
Использование операции сложения в выражении для метрики мира четырех измерений означает, что она остается евклидовой, то есть, что событие, произошедшее в точке B, может изображать любая точка окружности с центром в точке A, как и в случае 3-хмерного мира.
На самом деле, это не так, поскольку теперь события происходят не только в пространстве, но и во времени, одной из ключевых особенностей которого является требование соблюдения отношений причинности в цепи последовательно происходящих событий. Поэтому, если в качестве исходного события A выступает, например, событие «пробуждение утром», происходящее в момент времени ta, то пункт распорядка дня, связанный с событием B «завтрак» уже не может находиться, например, в точке C. Потому что событие, наступающее в момент времени tc, происходит до наступления события A (по факту в прошлом по отношению к событию A), то есть кто-то завтракает, даже еще не проснувшись! Завтрак должен следовать за пробуждением, а не наоборот.
Таким образом, оказывается, что принцип причинности требует использования в выражении для метрики мира Минковского операции вычитания, заставляя отказаться от операции сложения:
Это выражение представляет собой уже уравнение гиперболы, а не окружности, то есть евклидово пространство трех измерений («чистое» пространство без времени) в результате увеличения его размерности на единицу стало гиперболическим пространством-временем Минковского. В 4-хмерном мире функции 3-хмерной окружности событий переходят к другому коническому сечению – гиперболе.
Для разных наблюдателей событие B теперь может, без нарушения принципа причинности, происходить в любой точке одной из четырех ветвей гиперболы (например, в точках C, D, E и т. д.).
Каждая из ветвей гиперболы образована точками, равноудаленными от точки симметрии этого конического сечения (точки A), хотя в его плоскости изобразить отрезки, например, AB и AC равными невозможно. И это не единственная сложность визуализации 4-хмерного пространства событий в плоскости 3-хмерного мира. Получающиеся в результате сечения пространства четырех измерений пространством меньшей размерности, диаграммы движения выглядят парадоксальными и весьма условными. Тем не менее, они помогают выявить многие важные детали механических процессов, происходящих в пространстве-времени.
О том, чем приходится «расплачиваться» за «роскошь» предложенного Калуцей увеличения размерности мира Минковского еще на единицу, и нужно ли это вообще, поговорим уже в следующий раз.
Продолжение следует
