Предположим, у нас в руках кусок проволоки в 20 см. И вот думаем: как его лучше всего задействовать, чтобы получить прямоугольник с максимальной площадью? Сложная задача, но разберемся.
Пусть одна сторона прямоугольника будет длиной (x), а другая - шириной (y). Следовательно, периметр этого прямоугольника можно представить как (2x + 2y). И у нас есть ограничение: сумма длины и ширины должна быть равна длине проволоки, то есть (2x + 2y = 20).
Наши главные герои - это площадь прямоугольника, которую мы обозначим как (xy). И теперь вопрос: как подобрать (x) и (y), чтобы максимизировать эту площадь?
Давайте воспользуемся математическими фокусами. Выразим, к примеру, (y) через (x) из ограничения (y = 10 - x) и подставим это в формулу для площади: (S(x) = x(10 - x)). Дальше дело за дифференциальным исчислением.
Производная площади (S'(x)) равна (10 - 2x). И наша цель - найти момент, когда эта производная равна нулю. После коротких манипуляций, мы выходит на (x = 5).
Таким образом, при (x = 5) получаем максимальную площадь прямоугольника. Подставим это значение обратно в ограничение, чтобы вычислить (y): (y = 10 - x = 10 - 5 = 5).
И вот он, ответ: чтобы использовать проволоку максимально эффективно, нужно сделать прямоугольник со сторонами 5 см и 5 см.
Это как в математике, так и в жизни - иногда нужно взять и потратить немножко времени, чтобы получить максимум.
