Задача: В треугольнике ABC провели высоты AM и CK. Отрезок MK делит биссектрису BE треугольника в отношении 2 : 3, считая от вершины. В каком отношении данный отрезок делит площадь треугольника?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть ∠B = α. В прямоуг. △CKB: BK = BC * cos α. В прямоуг. △AMB: BM = AB * cos α.
Рассмотрим △ABC и △KBM:
- ∠B - общий
- BM/AB = BK/BC = cos α.
⇒ △ABC ~ △KBM по II признаку подобия треугольников ⇒ S△KBM/S△ABC = cos^2 (α) ⇒ S△ABC = S△KBM/cos^2 (α).
S△KBM/SAKMC = S△KBM/(S△ABC - S△KBM) = S△KBM/(S△KBM/cos^2 (α) - S△KBM) = S△KBM/(S△KBM(1/cos^2 (α) - 1)) = 1/((1-cos^2 (α))/cos^2 (α)) = cos^2(α)/(1 - cos^2(α)) = cos^2(α)/sin^2(α).
Также из подобия △ABC ~ △KBM следует, что BN/NE = BM/AB = BK/BC ⇒ BM/AB = BK/BC = 2/5 ⇒ cos α = 2/5 и sin α = √(1 - (2/5)^2) = √(1 - 4/25) = √(21/25) = √21/5
⇒ S△KBM/SAKMC = cos^2(α)/sin^2(α) = (4/25)/(21/25) = 4/21.
Ответ: 4 : 21.
Задача решена.
