Задание
Для правильного октаэдра с длиной ребра a найти отношение производной его объёма по ребру к площади поверхности.
Решение
Рассмотрим трёхмерную декартову прямоугольную систему координат и на каждой из трёх координатных осей отметим по две точки, удалённых от начала координат на величину
(a > 0). На рис. 1 эти точки обозначены как A, B, C, D, E и F.
Отметим, что при этом получилось шесть равных между собой отрезков:
AO = OD = EO = OB =CO = OF,
длина каждого из которых составляет
Теперь соединим A, B, C, D, E и F отрезками так, как это показано на рис. 2. Получившийся при этом многогранник ABCDEF является октаэдром.
Рассмотрим △AOE. Он равнобедренный (AO = EO) и прямоугольный (точки A и E лежат на разных координатных осях, которые перпендикулярны друг другу, поэтому ∠AOE – прямой). Таким образом, AE – гипотенуза, которая согласно теореме Пифагора равна
Аналогично доказывается, что все остальные рёбра октаэдра (к числу коих относится и AE) равны a, то есть равны между собой и следовательно октаэдр ABCDEF является правильным октаэдром, все восемь граней которого – равновеликие равносторонние треугольники. Площадь каждого из них составляет (см. задание Г-12)
Отсюда площадь S всего октаэдра ABCDEF равна
Снова рассмотрим △AOE. Из его равнобедренности и прямоугольности следует, что ∠OAE = 45°. Так как △AOE = △AOB (AO – общая их сторона, EO = OB, ∠AOB – прямой по той же причине, что и ∠AOE), то ∠OAB= 45°, а отсюда ∠EAB = 45° + 45° = 90°. Аналогично можно доказать, что ∠AED = 90°, из чего вытекает, что четырёхугольник AEDB является квадратом со стороной a, лежащим в координатной плоскости xOy.
Рассмотрим теперь пирамиды AEDBC и AEDBF. Они имеют общее квадратное основание, а, соответственно, отрезки OC и OF являются их высотами, так как лежат на оси аппликат Oz. Так как объём пирамиды равен трети произведения площади её основания на высоту, то из равенства OC = OF следует, что объёмы пирамид AEDBC и AEDBF одинаковы, а объём V октаэдра ABCDEF равен, например, удвоенному объёму пирамиды AEDBC:
Рассматривая объём октаэдра как функцию длины его ребра V = V(a) найдём её производную:
Таким образом, спрашивающееся в задаче отношение будет равно:
Ответ
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: