Задание
Дан правильный тетраэдр с ребром, равным a. Найти отношение производной его объёма по длине ребра к площади поверхности.
Решение
Правильный тетраэдр имеет четыре грани, которые являются равновеликими равносторонними треугольниками. Ранее в задаче Г-9 была получена формула для площади правильного n-угольника со стороной a:
Sₙ = a²·(n/4)·ctg(π/n)
Для правильного (равностороннего) треугольника она перепишется так:
Отсюда площадь правильного тетраэдра будет
Тетраэдр можно рассматривать как пирамиду с треугольным основанием, поэтому его объём равен трети произведения высоты на площадь основания. В разобранной ранее задаче Г-3 было показано, что высота правильного тетраэдра h выражается через длину его ребра a так:
Из этого следует, что объём правильного тетраэдра есть
Рассматривая V как функцию от a, найдём её производную:
Таким образом, спрашивающееся в задаче отношение будет равно:
Ответ
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: