Задание
Вокруг правильного многоугольника с числом сторон n описана окружность радиусом R. Найти предел отношения производной площади многоугольника S по радиусу R описанной окружности к периметру P этого многоугольника при бесконечном увеличении n:
Решение
Выразим через радиус описанной окружности площадь S данного в задаче многоугольника. Для этого разделим его на n треугольников, таких, чтобы одна вершина каждого треугольника являлась центром описанной окружности, а две другие были вершинами многоугольника, принадлежащими одной его стороне. Все полученные треугольники будут равны друг другу по трём сторонам (две из них – радиусы описанной окружности, а третья – это сторона самого многоугольника).
Найдём площадь одного из таких треугольников – рассмотрим △AOB (см. рисунок).
В нём ∠AOB равен 360°/n или в радианной мере
∠AOB = 2π/n
Площадь △AOB можно найти по двум его сторонам и синусу угла между ними:
S(△AOB) = ½·OA·OB·sin(∠AOB) = ½·R·R·sin(2π/n) = R²/2·sin(2π/n)
Поскольку S = n·S(△AOB), то получаем следующую формулу для площади правильного n-угольника:
S = R²·n/2·sin(2π/n)
Рассматривая площадь как функцию радиуса S = S(R), найдём её производную:
(множитель n/2·sin(2π/n) не зависит от R, поэтому при дифференцировании выносится за знак производной как постоянный коэффициент).
Для нахождения периметра многоугольника P = n·AB необходимо выразить AB через R. Для этого в △AOB из вершины O опустим на сторону AB высоту OC. Так как △AOB – равнобедренный (OA = OB = R), то OC будет являться медианой для AB (AC = CB) и биссектрисой ∠AOB, из чего следует, что:
AB = AC + CB = 2AC
∠AOC = ½·∠AOB = ½·2π/n = π/n
Так как △AOC – прямоугольный, то величину AC можно найти через гипотенузу OA и синус противолежащего угла ∠AOC:
AC = OA·sin(∠AOC)
Таким образом получаем:
P = n·AB = n·2AC = 2n·OA·sin(∠AOC) = 2nR·sin(π/n)
Рассмотрим теперь отношение производной площади многоугольника по радиусу описанной окружности к периметру этого многоугольника:
(при выполнении преобразований использовано тригонометрическое тождество для синуса двойного угла). Теперь остаётся лишь найти предел у полученного отношения при n → ∞ :
Ответ
1
Комментарий
Производная площади круга по радиусу есть длина ограничивающей этот круг окружности L = 2πR :
Отсюда следует, что отношение производной площади круга по радиусу к длине окружности строго равно единице. Это согласуется с полученным в задаче ответом в том смысле, что при бесконечном возрастании числа сторон многоугольник также вырождается в окружность и его периметр P становится её длиной L.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: