Задание
Длина стороны правильного многоугольника равна a. Найти производную его площади по стороне.
Решение
Выразим через a площадь S правильного многоугольника с числом сторон n. Для этого сначала опишем вокруг него окружность, а затем разделим его на n треугольников, таких, чтобы одна вершина каждого треугольника являлась центром описанной окружности, а две другие были вершинами многоугольника, принадлежащими одной его стороне. Все полученные треугольники будут равны друг другу по трём сторонам (две из них – радиусы описанной окружности, а третья – это сторона самого многоугольника).
Найдём площадь одного из таких треугольников – рассмотрим △AOB (см. рисунок).
Он является равнобедренным, так как его стороны AO и OB – радиусы описанной окружности:
AO = OB = R
Опустим из вершины O на сторону AB высоту OC, которая будет ещё и биссектрисой ∠AOB и медианой для AB (как высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника). Длину OC можно выразить через AC и котангенс ∠AOC:
OC = AC · ctg(∠AOC)
В рассматриваемом треугольнике ∠AOB равен 360°/n или в радианной мере
∠AOB = 2π/n
Так как OC – биссектриса ∠AOB, то ∠AOC = ∠AOB / 2, то есть
∠AOC = 2π/n·½ = π/n
С учётом того, что AC = CB = AB / 2 = a/2 получаем что
OC = a/2·ctg(π/n)
Теперь можно найти площадь треугольника S(△AOB) через его высоту и основание:
S(△AOB) = ½·AB·OC = ½·a·(a/2)·ctg(π/n) = a²/4·ctg(π/n)
Поскольку S = n·S(△AOB), то получаем следующую формулу для площади правильного n-угольника:
S = n·S(△AOB) = a²·n/4·ctg(π/n)
Если площадь правильного многоугольника рассматривать как функцию длины его стороны: S = S(a), то искомая производная Sₐ' (в других обозначениях – dS/da) будет равна:
(множитель n/4·ctg(π/n) не зависит от a, поэтому при дифференцировании выносится за знак производной как постоянный коэффициент).
Учитывая, что периметр многоугольника равен an, а, соответственно, полупериметр p есть an/2, то окончательно можно записать:
Sₐ' = p·ctg(π/n)
Ответ
Sₐ' = p·ctg(π/n)
Комментарий
Полученный результат показывает, что производная площади правильного многоугольника по стороне прямо пропорциональна его полупериметру, а величина коэффициента пропорциональности ctg(π/n) зависит от числа сторон многоугольника. В частности, при n = 4
ctg(π/n) = ctg(π/4) = ctg 45° = 1 ,
поэтому для квадрата производная площади по длине стороны имеет наиболее простой вид:
Sₐ' = p
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также:
