Широко известна следующая тактика подготовки к профильному ЕГЭ.
Сначала ученик готовится к заданиям первой части. После того, как он научится стабильно их решать, он переключается на задания второй части.
И здесь чаще всего для проработки выбирают следующие задания: 12 задача (тригонометрия, нумерация прошлого года), 14 задача (неравенства), 15 задача (экономическая), 18а (посильный перебор в олимпиадной задаче).
Вот такой набор задач – первая часть плюс перечисленные выше номера – носит неофициальное название «джентльменского набора». В этих заданиях довольно много чисто технических и алгоритмических аспектов, поэтому и подготовка к ним в целом может быть доступна многим ученикам.
Для тех учеников, кто стремится к высоким баллам, эти задания нужно учиться выполнять просто на автомате. Для учеников послабее этот набор задач должен быть главным ориентиром для подготовки.
Ситуация с оставшимися заданиями иная. Задания 16, 17 и 18 (сложная планиметрия, параметры и олимпиадная задача) требуют хорошей профильной подготовки. Школьникам без крепкой школьной базы или без опытного репетитора невероятно трудно подготовиться к этим заданиям.
Однако, есть ещё и 13 задача (стереометрия), и довольно часто после выполнения джентльменского норматива, ученики пробуют готовиться именно к этому заданию.
И здесь их ждёт неприятный сюрприз.
К сожалению, обычно в школе редко дают хорошую геометрическую базу. В итоге ученик сталкивается не только с необходимостью решать пространственные задачи как таковые (для чего, конечно, нужно некоторое пространственное воображение). Также необходимо делать быстро и правильно некоторые промежуточные планиметрические выкладки. И пусть обычно они не так трудны, однако, они сложнее, чем стандартная планиметрия из первой части.
Хорошая же новость в том, что подобная «планиметрия для стереометрии» сводится к ограниченному набору вполне стандартных подходов и алгоритмов.
Поэтому для тех учеников, которые не очень уверены в своих геометрических силах лучше всего заранее или по ходу подготовки точечно заняться определёнными планиметрическими задачами.
Про пространственное мышление и про то, как его можно развивать до 10-11 классов, мы уже говорили. Теперь давайте опишем, какие знания, умения и навыки из планиметрии особенно понадобятся старшеклассникам, чтобы хорошо решать стереометрические задачи.
Те задания, про которые мы будем говорить ниже, можно использовать в начале полноценной системной подготовки к стереометрии или же уже по ходу неё для повторения и закрепления. Также эти задачи в той или иной форме можно давать в качестве небольшой разминки перед основной темой каждого занятия.
Разумеется, мы подразумеваем, что какой-то средний уровень знания геометрии у школьника есть. То есть что, условно, он знает теорему Пифагора и может по косинусу и гипотенузе найти стороны прямоугольного треугольника.
Итак, перечислим, на что следует обратить внимание в планиметрии во время подготовки к стереометрической задаче.
1. Работа с правильным треугольником, квадратом и шестиугольником.
а) В правильном треугольнике необходимо уметь по стороне находить высоту, площадь, расстояние от центра до вершин/до сторон (и конечно, помнить в каком соотношении делятся медианы точкой пересечения). Соответственно и наоборот, по одному из указанных элементов находить все остальные. Желательно на определенном этапе выучить наизусть, чему равна высота в равностороннем треугольнике, выраженная через сторону.
б) Для квадрата нужно наизусть знать, чему равна длина диагонали. И соответственно, по диагонали нужно уметь сразу находить сторону. Также следует понимать, что эти задачи равносильны схожим задачам для равнобедренного прямоугольного треугольника (как половина квадрата).
в) Отдельно следует изучить все соотношения для правильного шестиугольника. В первую очередь понимать, что он делится большими диагоналями на шесть правильных треугольников. Уметь выражать длины диагоналей через сторону, знать различные углы (между диагоналями и сторонами). Уметь вычислять площади фигур внутри шестиугольника (в первую очередь понимать, какую долю они составляют от площади исходной фигуры).
Эти знания необходимы, т.к. во многих стереометрических задачах мы имеем дело с правильной треугольной/четырёхугольной/шестиугольной призмой или пирамидой. Это значит, что в основании лежит соответствующий правильный многоугольник, с которым предстоит работать.
2. Решение треугольников.
а) В первую очередь нужно хорошо владеть теоремой косинусов. Обратите внимание, что смежная с ней теорема синусов используется в стереометрии значительно реже.
Нужно уметь, не задумываясь, решать задачи следующих двух типов: по трём сторонам находить косинус любого угла треугольника и по двум сторонам и углу между ними находить третью сторону.
Полезно также вспомнить, что означает отрицательный косинус и освежить в памяти значения тригонометрических функций для табличных углов.
б) Часто встречается проблема, когда школьник умеет в конкретном треугольнике найти неизвестную сторону или угол (просто подставляя числа в формулу), но не умеет строить цепочки нахождения данных.
То есть вроде получается решить счётную задачу-одноходовку, но при этом не получается провести расчёты для двух- или трёхходовых задач.
Для плоского случая можно тренироваться на задачах подобных такой: дан четырёхугольник ABCD. Известно, что АВ=4, ВС=7, CD=6, DA=5. Угол DAВ равен 60°. Найти угол DCB.
В ней нужно просто дважды применить теорему косинусов.
в) Дальше можно потренироваться в решении задач такого типа.
i. Дан треугольник АВС со сторонами АВ=5, АС=7 и ВС=8. Сторона ВС разделена точкой Q в отношении 1:3. Найти длину отрезка АQ.
ii. Дан равносторонний треугольник АСВ со стороной а. Сторона АВ делится точкой Q в отношении m:n. Найти длину отрезка CQ.
iii. Можно порешать какие-нибудь задачи про решение трапеции с поиском сторон и углов. Например, дана трапеция с основаниями 8 и 9 и боковыми сторонами 4 и 5. Найти углы при основании трапеции.
То есть нужно подобрать задачи, в которых после некоторых несложных действий можно будет применить теорему косинусов. Здесь важно её применение в бою, а не в очевидных случаях для стерильных треугольников.
3. Нахождение высоты/площади в треугольнике.
В стереометрических задачах довольно часто нужно найти высоту или площадь треугольника по трём сторонам. Это важная задача, которая может быть как целевой, так и вспомогательной для дальнейших расчётов.
Так как высота и площадь треугольника связаны, то обычно, найдя один из этих элементов, почти сразу можно найти второй.
Этот тип задач можно разбить следующие четыре подтипа. Очень важно отдельно поработать с каждым из них.
а) Прямоугольный треугольник
Первым делом нужно уметь определять тип треугольника (прямоугольный он или нет). По теореме обратной теореме Пифагора можно быстро это понять. Дело в том, что для прямоугольного треугольника удобно считать площадь (как половина произведения катетов), находить углы (тригонометрические функции определяются через прямоугольные треугольники), находить высоты (две совпадают с катетами, а третья считается через метод площадей).
То есть нужно научить учеников быстро проверять тип треугольника. Часто это даёт выигрыш в вычислениях, когда мы понимаем, что перед нами прямоугольный треугольник.
б) Равнобедренный треугольник
Если треугольник равнобедренный, то для него тоже можно значительно упростить вычисления. Например, сначала провести стандартное построение – опустить высоту на основание. Тем самым у нас получатся прямоугольные треугольники, которые также помогут в расчётах.
Высота ищется по теореме Пифагора, площадь по стандартной формуле площади треугольника, угол при основании через прямоугольный треугольник. Единственное, что нужно будет посчитать отдельно – это угол при вершине. Его лучше считать по теореме косинусов.
в) Произвольный целочисленный треугольник.
Обычно площадь целочисленных треугольников считают по формуле Герона. Это самый быстрый и надёжный способ. Высоты находят по методу площадей.
г) Треугольник общего вида.
Мы говорим про треугольник, который не является прямоугольным, равнобедренным или имеющим целые стороны. Обычно в таких треугольниках сторонами являются какие-нибудь квадратичные иррациональности.
Здесь возможны два варианта решения, то есть нахождения площади или высоты по трём сторонам:
i. По сторонам и теореме косинусов находим косинус одного из углов. Если нужно искать высоту, подбираем и удобный для этого угол. Далее через основное тригонометрическое тождество находим синус по известному косинусу. И наконец, в зависимости от задачи, или находим требуемую высоту через синус и гипотенузу в одном из прямоугольных треугольников, или находим площадь через две смежные стороны и угол между ними.
ii. Проводим искомую высоту h. Она делит основание (пусть для определенности его длина равна 10) на два отрезка. Один из этих отрезков обозначим за x, тогда второй будет равен 10-x. По теореме Пифагора двумя способами вычисляем h² и приравниваем. Получаем уравнение от х, которое после всех преобразований внезапно становится линейным. Отсюда легко находим х, а потом также легко по теореме Пифагора находим h.
Тем, кто посильнее, рекомендую попробовать каждый из этих методов несколько раз в разных ситуациях и выбрать тот, который по душе.
Для школьников, которые чувствуют себя не очень уверенно в этой теме лучше использовать второй метод, т.к. он требует лишь знания теоремы Пифагора и умения решать линейные уравнения.
Сам же я использую именно второй способ для работы. Возможно, это просто дело привычки, но кажется он всё-таки проще в использовании.
В пользу второго метода говорит и тот факт, что в стереометрических задачах составители иногда косвенно ссылаются на этот принцип нахождения высоты.
См., например, вот такую задачу с вариантов досрочного экзамена прошлого года: «Основание высоты треугольной пирамиды SABC лежит на середине высоты CH треугольника ABC. а) Докажите, что SA² -SB² =AC²-BC²…»
Ещё раз подчеркну важность того, что нужно сначала выработать привычку определять тип треугольника. Школьники часто берут самый общий метод и решают с помощью него, не задумываясь, что задача может решаться чуть ли не устно без длинных выкладок. Например, в треугольнике со сторонами 5, √17, 2√2 высоты (и даже медианы) можно найти в уме, не прибегая к сложным вычислениям.
4. Пропорциональное деление, средняя линия и теорема Фалеса
В этом подпункте нужно рассмотреть всевозможные задачи на пропорции и соотношения в подобных треугольниках.
Задачи вроде «отрезок длиной а, разделили в соотношении m:n» не должны вызывать трудностей.
Отдельных каких-то специфических задач именно для стереометрии здесь нет. Нужно просто вспомнить соответствующие разделы из планиметрии.
После того, как освежили в памяти всё вышеуказанное, можно постепенно переходить к простым пространственным фигурам и использованию планиметрии уже для них.
На начальных этапах можно вообще просто давать элементарные счётные задачи, но чтобы треугольники уже были не на плоскости, а в пространстве.
Например, дана пирамида и мы знаем две её стороны и угол между ними. Нужно найти ребро напротив этого угла.
Или дан прямоугольный параллелепипед и на трёх смежных ребрах отмечены точки, которые делят сторону в указанном соотношении. И нужно найти площадь сечения.
Дальше можно попробовать найти расстояние от точки до другой точки. Или от точки до прямой. Эти задачи хороши тем, что требуют минимума пространственного мышления и необходимости дополнительных построений, и представляют собой чисто счёт в различных треугольниках.
Также довольно хорошо прокачивает счётные навыки метод объемов. В нём тоже нет каких-либо доппостроений, да и сам метод является вполне логичным продолжением метода площадей.
В конечном счёте нужно будет постепенно перейти к автоматическому решению задач, подобных такой:
Даны правильные треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамиды с ребром при основании равным а и боковым ребром равным 4а.
Найти для каждого случая:
1. Угол между боковым ребром и ребром основания, принадлежащим одной грани.
2. Высоту пирамиды.
3. Объем пирамиды.
4. Площадь боковой поверхности и площадь основания.
5. Расстояние между вершиной основания и серединой противоположного бокового ребра.
6. Расстояние между центром основания и серединой любого бокового ребра.
7. Расстояние от центра основания до бокового ребра.
8*. Расстояние от центра основания до точки пересечения медиан боковой грани.
Сложных пространственных построений здесь нет, но нужно очень много аккуратно считать.
Ещё раз подчеркну, что упор на такую работу лучше делать тогда, когда у ученика нетвёрдые вычислительные планиметрические навыки. В таком случае и последовательность изучаемых разделов разумно выстраивать с оглядкой на возрастание сложности именно вычислений. И постепенно показывать, что в стереометрии главное найти треугольники для обсчёта.
Исходя из этой парадигмы, можно задачи на вычисление расстояний от точки до прямой научиться решать как можно раньше, т.к. это чисто техническая задача.
Если же ученик умеет уверенно выполнять все необходимые технические действия, то можно спокойно идти по стандартной схеме подготовки: Угол между прямыми, Угол между прямой и плоскостью, Угол между плоскостями, Расстояние от точки до прямой, Расстояние от точки до плоскости, Расстояние между скрещивающимися прямыми и т.д.
Эту схему можно встретить и в стереометрическом пособии от mathus и в соответствующей книге Гордина для подготовки к ЕГЭ.
