Задача: В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD. Найдите радиус окружности, если AC = a, BD = b
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём диаметр DE, тогда опирающиеся на диаметр углы ∠DCE = ∠DBE = 90°.
AB⟂DC и CE⟂DC ⇒ AB∥EC. Рассмотрим четырёхугольник ACEB: AB∥EC ⇒ ACEB - трапеция; трапеция может быть вписанной только в том случае, если данная трапеция равнобедренная ⇒ ACEB - равнобедренная ⇒ BE = AC = a (см. рисунок)
В прямоуг. △DBE: по теореме Пифагора DE^2 = a^2+b^2;
DE = √(a^2+b^2)
DE - диаметр ⇒ DE = 2R
2R = √(a^2+b^2)
R = 1/2 * √(a^2+b^2)
Ответ: 1/2 * √(a^2+b^2) .
Задача решена.
