Задача: Вне единичного квадрата ABCD взята точка E так, что угол CBE равен 30°, а угол AED равен 45°. Найдите отрезок AE.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём диагональ BD, по св-у квадрата диагональ - биссектриса ⇒ ∠ABD = ∠DBC = 45°. Рассмотрим четырёхугольник ABED: ∠ABD = AED и оба угла "опираются" на AD ⇒ по II признаку вписанного четырёхугольника вокруг ABED можно описать окружность (см рисунок)
∠EAD = ∠EBD = 75°, поскольку опираются на дугу ◡ED. В △AED: ∠EDA = 180° - 45° - 75° = 60°. По теореме синусов: sin 45°/AD = sin 60°/AE; AE * sin 45° = AD * sin 60°.
AD = 1, как сторона квадрата ⇒ AE * √2/2 = √3/2; AE = (√3/2)/(√2/2) = √3/√2 = √6/2.
Ответ: √6/2.
Задача решена.