Задача: Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что образованный этими высотами треугольник составляет одну четверть от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
В △AMB: BM = AB * sin α; ∠ABM = 90° - α.
∠BAD = ∠BCD = α по св-у параллелограмма. В △BNC: BN = BC * sin α; ∠CBN = 90° - α.
Найдём ∠MBN: ∠MBN = ∠ABC - ∠ABM - ∠CBN. ∠ABC = 180° - α по св-у параллелограмма ⇒ ∠MBN = 180° - α - 2(90° - α) = α.
S△BMN = 1/2 * BM * BN * sin α = 1/2 * AB * BC * sin^3 α.
SABCD = AB * AD * sin α
По условию S△BMN = 1/4 * SABCD ⇒
1/2 * AB * BC * sin^3 α = 1/4 * AB * AD * sin α (BC = AD по св-у параллелограмма)
1/2 * sin^2 α = 1/4
2sin^2 α = 1
sin α = +-√(1/2), поскольку 0° < α < 90°, то sin α = √(1/2)
sin α = 1/√2
sin α = √2/2.
sin α = √2/2 ⇒ α = 45°.
Ответ: 45°.
Задача решена.