Задача: Геометрически докажите, что для острого угла α справедлива формула tg(α/2) = sin α/(1 + cos α).
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Построим прямоугольный треугольник △ACB с гипотенузой AB и острым углом α. На продолжении луча CA отметим точку F так, что AF = AB. Тогда △FAB - р/б по определению ⇒ ∠AFB = ∠ABF. ∠BAC - внешний для треугольника △FAB и не смежный с углами ∠AFB и ABF ⇒ ∠BAC = ∠AFB + ABF ⇒ ∠AFB = ABF = α/2. (см. рисунок)
Рассмотрим △ACB: BC = AB * sin α; AC = AB * cos α.
Рассмотрим △FCB: tg(∠BFC) = BC/CF ⇒ tg(α/2) = (AB * sin α)/FA + AC = (AB * sin α)/(AB + AB * cos α) = sin α/(1 + cos α)
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
