Задача: Один угол треугольника в 2 раза меньше другого, а противолежащие стороны равны 5 и 8. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть меньший угол равен α, тогда больший будет равен 2α. По теореме синусов для хорд: R = 5/2sin α и R = 8/2sin 2α.
Приравняем правые части и решим получившееся уравнение:
5/2sin α = 8/2sin 2α
5/2sin α = 2/(sin α * cos α)
5sin α * cos α = 4sin α
5sin α * cos α - 4sin α = 0
sin α * (5cos α - 4) = 0
sin α = 0 ˅ 5cos α - 4 = 0
1. sin α = 0; α = kπ, k ∈ Z - не подходит, поскольку 0° < α < 90°
2. 5cos α - 4 = 0; cos α = 4/5; sin α = √(1 - cos^2 α) = 3/5.
R = 5/(2 * 3/5) = 25/6.
Ответ: 25/6.
Задача решена.
