Треугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к навигации Перейти к поиску

У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения).

Треугольник Рёбра 3 Символ Шлефли{3} Медиафайлы на Викискладе

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла[2], то есть как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Содержание

• 1Основные элементы треугольника1.1Вершины, стороны, углы 1.2Классификация треугольников1.2.1По виду наибольшего угла 1.2.2По числу равных сторон (или по степени симметричности) 1.3Медианы, высоты, биссектрисы 1.4Описанная и вписанная окружности
• 2Признаки равенства треугольников
• 3Признаки подобия треугольников
• 4Основные свойства элементов треугольника4.1Свойства углов 4.2Неравенство треугольника 4.3Теорема о сумме углов треугольника 4.4Теорема синусов 4.5Теорема косинусов 4.6Теорема о проекциях 4.7Теорема тангенсов (формулы Региомонтана) 4.8Теорема котангенсов 4.9Формулы Мольвейде 4.10Решение треугольников
• 5Площадь треугольника5.1Другие формулы 5.2Неравенства для площади треугольника
• 6История изучения
• 7Дополнительные сведения7.1Некоторые замечательные прямые треугольника 7.2Трилинейные поляры треугольника 7.3Вписанные и описанные фигуры для треугольника 7.4Преобразования7.4.1Изогональное сопряжение 7.4.2Изогональные сопряжения линий треугольника 7.4.3Изотомическое сопряжение 7.4.4Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры 7.4.5Изоциркулярное преобразование 7.5Тригонометрические тождества только с углами 7.6Разные соотношения
• 8Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости8.1Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости 8.2Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов 8.3Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин
• 9Треугольник в неевклидовых геометриях9.1На сфере 9.2На плоскости Лобачевского 9.3Связь суммы углов с площадью треугольника 9.4Треугольник в римановой геометрии
• 10Обозначение
• 11См. также
• 12Примечания
• 13Литература
• 14Ссылки

Основные элементы треугольника[править | править код]

Стандартные обозначения

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По виду наибольшего угла[править | править код]

Основной источник: [3]

Остроугольный

Тупоугольный

Прямоугольный

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

По числу равных сторон (или по степени симметричности)[править | править код]

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

• Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием[4]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

ТреугольникКоличество осей симметрииКоличество пар равных сторонРазностороннийНетНетРавнобедренный11Равносторонний33

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Основная статья: Замечательные прямые треугольника

Основная статья: Замечательные точки треугольника

Медианы в треугольнике

Высота в треугольниках различного типа

Высоты пересекаются в ортоцентре

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам[5]:p.64:

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам[6].

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Основная статья: Вписанные и описанные фигуры для треугольника

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника[6].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Ещё два полезных соотношения:

Существует также формула Карно[8]:

Признаки равенства треугольников[править | править код]

Равенство по двум сторонам и углу между ними

Равенство по стороне и двум прилежащим углам

Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов[9]:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительные признаки: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон[10], треугольники равны, если у них равны две стороны и угол не между ними, если этот угол прямой или тупой.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского треугольники равны если равны их три угла.

Признаки подобия треугольников[править | править код]

Основная статья: Признаки подобия треугольников

Основные свойства элементов треугольника[править | править код]

Свойства углов[править | править код]

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы[10].

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных[10].

Неравенство треугольника[править | править код]

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон[10].

Теорема о сумме углов треугольника[править | править код]

Основная статья: Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов[править | править код]

Основная статья: Теорема синусов

Теорема косинусов[править | править код]

Основная статья: Теорема косинусов

Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора.

• Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))[12]:

Теорема о проекциях[править | править код]

Основная статья: Теорема о проекциях

Источник: [13]:

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)[править | править код]

Основная статья: Теорема тангенсов

Теорема котангенсов[править | править код]

Основная статья: Теорема котангенсов

Формулы Мольвейде[править | править код]

Основная статья: Формулы Мольвейде

Решение треугольников[править | править код]

Основная статья: Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника[править | править код]

Далее используются обозначения

Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями

Частные случаи

Другие формулы[править | править код]

• Существуют другие формулы, такие, как например[16]:
• В 1885 году Бейкер (Baker)[17] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:

Неравенства для площади треугольника[править | править код]

Для площади справедливы неравенства:

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).