Любопытные факты о дробях, которые пригодятся в учёбе, работе и чтобы удивить друзей
Как разделить яблоко на троих, а торт на двоих? Чем дроби похожи на людей и в каких родственных связях проценты и доли? Можно ли сложить зелёное и громкое?
Об этом и многом другом рассказал директор по производству и учебно-методической части «ИнтернетУрока» Юрий Гребенюк в эфире передачи «Школьная программа для взрослых. Математика. Дроби: зачем делить числа на части» для радио «Маяк». Категорически рекомендуем вам послушать её целиком. А в нашем обзоре приводим цитаты Юрия Валерьевича и ведущего радио «Маяк» Игоря Ружейникова, которые показались нам самыми интересными.
Дети и взрослые по-разному делят яблоки
Допустим, есть яблоко, которое нужно разделить на троих. Веселее всего это сделают дети: «Каждому по яблоку, но я беру первым». Если взрослый будет делить яблоко из своих геометрических представлений, то получатся три равные части. Хотя разделить таким образом на практике вряд ли получится.
Математик разделит яблоко на трёх человек с точностью до грамма, используя десятичные дроби. Конечно, поровну 1 на 3 разделить не получится. Результат будет в виде 0,33333333… — с тройкой в периоде до бесконечной точности. А точность, которую мы сможем получить на практике, будет зависеть от весов.
Как разделить торт на двух братьев
Представьте: два брата поработали — вскопали огород. Один работал полчаса, другой — 50 минут. Мама принесла им в награду торт. Возникает вопрос: как поделить его по-честному, пропорционально времени работы?
Задачка была бы несложной, если бы вместо торта у нас было 8 пирожных. Тогда 3 из них мы отдали бы первому брату (за 3 периода работы по 10 мин) и 5 пирожных — второму (за 5 периодов по 10 мин). И все были бы довольны.
Но пирожных у нас нет, есть только торт. Надо как-то его превратить в 8 пирожных. Поэтому делим на 8 частей. Первому брату отдаём 3 кусочка, второму — 5. Вроде бы всё по-честному. Так и появляются дроби. Один кусочек торта — это и есть дробь. Её числитель — это сколько частей мы берём, а знаменатель — на сколько частей поделили. В нашем примере ⅜ торта мы отдали первому брату и ⅝ — второму.
Можно ли сложить зелёное и громкое
3 + 4 = 7. Это всегда так в классической десятичной системе счисления. Но если сложить 3 ручки и 4 карандаша, то сложно сказать, какой результат получится. Можно выйти на более общий уровень. Получится 7 предметов или 7 письменных принадлежностей. Но никак не 7 ручек или 7 карандашей. Это как зелёное и громкое, которые сложить не получится.
То же самое с дробями. Дробь берётся от какого-то числа. Есть известная задача-ловушка про треть от тарелки яблок:
В одной тарелке 6 яблок и в другой — 6 яблок.
Если сложить все яблоки в общую тарелку, получаем 6 + 6 = 12 яблок.
Берём 2 яблока из первой тарелки (2 из 6). Это ⅓ первой тарелки.
Берём 2 из второй тарелки (тоже 2 из 6). И это тоже ⅓, но уже второй тарелки.
Получили 4 яблока из 12. И это тоже ⅓ всех яблок.
«Кажется, какая-то ошибка: мы сложили ⅓ + ⅓. И как будто бы получили в сумме ⅓.
Но парадокса нет. В школе учителя часто забывают акцентировать внимание детей на том, что в реальном мире дробь — это часть чего-то, то есть всегда берётся от какого-то количества. Поэтому верным будет равенство: ⅓ от 6 + ⅓ от 6 = ⅓ от 12 (от другого количества). А вот если убрать из уравнения количество, от которого брали дробь (6, 6 и 12), конечно, получится неверное равенство».
Наименьшее кратное — как лезть в гору напрямик
«Допустим, мы хотим сложить 1/20 и 1/30. Если у нас общее количество — это 60, то задача решается легко. 1/20 от 60 — это 3 части; 1/30 от 60 — это 2 части. То есть всего получится 5 частей из 60, или 5/60. Можно сократить — будет 1/12. А что делать, если общее количество не равно 60? Очень просто, мысленно разбить его на 60 частей. Почему на 60? Потому что 60 делится и на 20, и на 30.
В математике это формулируется так: нужно найти общий знаменатель, который делится и на 20, и на 30. В школе большую важность придают технике, поэтому учат искать наименьшее общее кратное — наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. В нашем примере это 60. Получается 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12.
А можно найти общий знаменатель проще: умножить 20 на 30. Тогда задача решается так: 30/600 + 20/600 = 50/600 = 1/12.
Обычному человеку необязательно помнить про наименьшее кратное. Это как подниматься на гору. Есть длинный, но простой с точки зрения преодоления путь: по кругу, по серпантину. Как и знаменатели — можно их перемножить и получить общий знаменатель, который будет делиться на исходные. Это долго, но правильно. А можно подняться в гору по прямой. Тем, у кого хорошие навыки “скалолазания”, то есть кто разобрался с наименьшим кратным, будет легче напрямик и ближе этот классический школьный метод. Но это необязательно. Правильный ответ вы получите и если “поднимитесь по серпантину”, то есть перемножите знаменатели».
Дроби такие же, как Иван Иванович
Берём понятную дробь: ¼ метра. При этом помним, что метр — это 100 см.
100 см : 4 = 25 см. И казалось бы, вот она магия: мы превратили дробь в обычное целое число. Но это не магия, а нормальная ситуация. Один и тот же человек может быть Иваном Ивановичем на работе, дома — Ванечкой, а в официальных отчётах — главным бухгалтером.
Точно так же одно и то же количество можно записывать разными способами. Предположим, мы прошли половину пути до школы. Это ½. Если путь составляет восемь одинаковых кварталов, то мы прошли 4/8. Если путь занимает 30 минут, а прошли половину, то это 15/30. Если путь проходим за 500 шагов, а мы прошли 250, то это то же самое: 250/500. Но и ½, и 4/8, и 15/30, и 250/500 — это одно и то же количество. Это половина. Но можем представлять её разными способами. И это очень удобно, потому что помогает нам складывать разные дроби.
Как разделить муку и лекарства в походе
Проценты и десятичные дроби с запятыми кажутся непохожими: «Где там ⅓ и где десятичные дроби». На самом деле всё рядом.
Предположим, мы идём в поход, собираемся печь хлеб. Нам нужно распределить 17 кг муки на 43 участника похода. Получается, на каждого у нас 17/43 кг. Такая норма понятна математику, а вот человеку с ложечкой отсыпать столько тяжеловато.
Решить эту задачу нам поможет десятичная дробь. 17 кг переводим в 17 000 граммов и делим на 43. Например, в столбик:
17 000 : 43 = 395 (15 в остатке)
Получается 395 граммов с копейками — чем дольше делишь в столбик, тем точнее будет. В любом случае в результате видим понятное, привычное число. Кто-то из участников похода получит больше или меньше муки, но хвостик будет мал. Можно дойти до более мелких и точных единиц. Это важно, например, при изготовлении лекарств: там точность будет до микро- или миллиграммов.
И это ещё не всё! Послушайте целиком подкаст «Школьная программа для взрослых. Математика. Дроби: зачем делить числа на части» на радио «Маяк». Вы узнаете, как правильно отвечать на вопросы-ловушки на собеседованиях и как разделить торт без дробей и процентов, если кто-то откусывает слишком большой кусок.
