Чтобы сделать более понятными споры вокруг климатической тематики, я придумал простой пример.
В этой области "искрит" потому, что климатология, с одной стороны, чрезвычайно сложна (как любая современная наука), а с другой стороны — она оперирует простыми и понятными каждому терминами: погодой. Причем "эта *** жара", "этот *** холод", "эти *** засухи" и "эти *** дожди" эмоционально значимы для каждого. При этом простые объяснения на пальцах изначально неполны, а детальные объяснения становятся отчасти понятны лишь после четырех семестров жесткой муштры. В итоге любой скептик, что бы им не двигало, в выгодном положении.
А интуиция не натренирована отслеживать два фактора. Вот когда речь идет о похудении, то есть один показатель: масса тела. Хотя есть и другие: объем тела, который можно измерить по принципу Архимеда, окружность талии и других мест, всякие индексы массы тела и всё в таком роде. Однако они, наверное, все сильно скоррелированы, так что рост одного сопровождается ростом остальных. Впрочем, не могу исключать, что ув. медики сходу приведут примеры, когда вес растет, а талия сжимается, или наоборот. Что тоже выводит пример за рамки однофакторных. Если же факторов два или больше, интуиция почти всегда попадает впросак.
Переходим к примеру, который интересен и сам по себе. Все аналогии косвенные, прямых нет.
Есть такая модель "Хищник-жертва", она же модель Лотка-Вольтерра. Там есть два класса животных, хищники и жертвы, описываемые вещественной неотрицательной численностью.
В отсутствии хищников жертвы размножаются по обычному закону Мальтуса: каждая особь производит в единицу времени постоянное число особей. Ресурса, который им нужен для жизни, много, он в избытке.
Каждый хищник же уничтожает некоторую долю численности жертв. Получается баланс между рождаемостью и смертностью. У хищников есть естественная смертность, за единицу времени вымирает постоянная доля численности, и они могут размножаться, превращая биомассу жертв в свою. Уравнения такие:
x' = Ax - Bxy
y' = -Cy + Dxy
Легко вычислить равновесные численности, которые выражаются через характеристики другого вида:
x₀=C/D, y₀=A/B.
Если численности такие, то рождаемость уравновешивается смертностью и численности остаются постоянными. Если же одна или обе численности от равновесной отличается, то система движется по замкнутой линии.
То, что линия (она называется фазовой кривой) замкнутая — не так очевидно, но несложно доказывается. Ее уравнение легко получить, разделив одно дифференциальное уравнение на другое и разделив переменные:
(A/y-B)dy = (-C/x+D)dx,
Aln(y)-By = -Cln(x)+Dx + K.
Здесь K — константа, которую легко выразить через начальные численности. Уравнение показывает, что каковы бы ни были начальные численности, вымирания (в рамках модели!) не будет. Логарифм не допустит обнуления ни одной, ни другой численности.
Весьма удивителен вот какой факт: в системе имеется внутренняя изменчивость, цикличность, не связанная ни с солнечным циклом, ни с лунным, ни с каким другим. Если в реальности корреляция есть, то это либо случайность, либо какая-то глубинная связь (эволюционные причины, например; я не в курсе, почему женский цикл так близок к лунному, но подозреваю, что причины именно эволюционные: земноводные предки метали икру в прилив или что-нибудь в этом роде. К нашей теме это напрямую не относится). Вполне можно говорить, что в природе есть цикличность, которую "наука не может объяснить". Объяснение, которое вы только что прочли, не засчитывается: заранее неявно заложено, что нужно отыскать связь с каким-то природным циклом! А ее нет.
Ещё нюанс. Если устроить одномоментную облаву на волков, когда их много, мы приблизим систему к равновесию. А вот если сделать это, когда их мало, то мы отдалим систему от равновесия, и через полпериода волков будет больше, чем полпериода назад, в прошлый максимум.
Теперь добавим постоянное антропогенное воздействие: отлов. Будем ловить постоянное число особей в единицу времени. При этом в правых частях уравнения появятся слагаемые -h₁, -h₂.
Несложная теорема гласит, что при любых этих h₁ и h₂, если только оба неотрицательны и не равны нулю, система неустойчива, и фазовая кривая незамкнута: она имеет вид раскручивающейся спирали и одна из переменных достигает нуля за конечное время. Если вымрут жертвы, то следом уйдут и хищники, а если вымрут хищники, то жертвы выйдут из условий модели: либо необходимый им ресурс перестанет успевать восстанавливаться и станет "жертвой", либо за него начнется внутривидовая конкуренция.
Теперь предположим, что мир состоит из хищников и жертв, которых (и тех, и других) не так давно люди стали ловить и есть. А ученые, почесав несколько десятилетий голову, придумали-таки модель и натянули ее на реальность.
Они начинают предупреждать, что дело идет к катастрофе, так как система идет вразнос и раньше ли, позже ли, а животные вымрут. Причем тут ученые начинают мямлить, что то ли все вымрут, то ли наоборот, кролики расплодятся неимоверно, и точно они сказать не могут.
Давайте посмотрим на доводы скептиков.
- В природе есть "необъяснимая" цикличность: она саморегулируется. Цикл не связан ни с годом, ни с месяцем.
- В природе есть механизмы саморегуляции: расплодившиеся жертвы подъедаются хищниками, подвымершие жертвы приводят к вымиранию хищников и спокойно восстанавливаются.
- Если взять численность животных за каждый март, получится хаотичный ряд чисел, как больших, так и малых: но в среднем всегда одно и то же (предполагаем, что цикл системы несоизмерим с годом, так что март приходится на разные "доли" цикла).
- Если взять максимальную численность за период, она стабильно растет.
- Были моменты, когда обе численности были и куда меньше, и куда больше, чем сейчас.
- Были времена, когда обе численности убывали (и паникёры кричали о вымирании), а теперь они растут.
- Природная изменчивость (разница между максимумом и минимумом) в разы больше, чем антропогенное влияние.
И нельзя сказать, что скептики неправы! Всё так. Но совсем не так...
А дело в том, что в системе два связанных фактора, и интуиция неспособна отследить их совместную динамику.
Теперь к проблеме подключаются элиты с деньгами и влиянием, наивные юноши и девы, просто увлёкшиеся личности, и начинается борьба за отказ от мяса и запрет охоты. Одновременно начинается выращивание зверушек в заказниках и выпуск их на волю: формально это "отрицательная охота", которая тоже может развалить систему (это совсем неочевидный сюрприз).
А ведь можно сравнительно легко решить проблему, обеспечив устойчивую цикличность и какой угодно (!) выход мяса (тех животных, которые жертвы). Правда, система не будет структурно устойчивой, то есть ее могут разрушить погрешности - но это уже другая история. А секрет в том, что нужно ловить не постоянное число особей в год, а долю от численности. То есть, скорость отстрела должна быть пропорциональна численности вот прямо сейчас: fx для жертв и gy для хищников. При этом система не меняет своего вида, меняются только эффективные коэффициенты:
x' = (A-f)x - Bxy
y' = -(C+g)y + Dxy
Единственное, что необходимо f<A, иначе жертвы не смогут восстановиться. А на g ограничений нет, так что равновесная численность жертв, равная (C+g)/D, может быть какой угодно большой. Выход продукции, равный (C+g)f/D, тоже может быть таким большим, как вам будет угодно. Равновесие останется таковым, а если изначально численности не равновесные, то система будет наматывать "круги" вокруг равновесия, в среднем давая тот же поток еды.
И овцы целы, и волки живы, и люди сыты.
Теперь немного техники, для тех, кому интересно.
Давайте посмотрим на систему с подпиткой:
x' = Ax - Bxy
y' = -Cy + Dxy + F.
Приравняем производные нулю, чтобы найти равновесие. Из первого получается y₀=A/B, второе приводит к x₀ = (C - FB/A)/D. Сразу видно, что если f положительное и большое (F > AC/B), то равновесия нет.
Если же равновесие есть (F невелико или отрицательно, что соответствует охоте), то заметим, что выбором единиц измерения x, y и времени можно сделать A, B и C равными единице; сделаем замену x=X+x₀, y=Y+y₀:
X' = X+x₀ - XY - Xy₀ - x₀Y - x₀y₀
Y' = -Y - y₀ + DXY + DXy₀ + Dx₀Y + Dx₀y₀ + F.
Из того, что x₀, y₀ равновесие, получаем
X' = X - Xy₀ - x₀Y - XY
Y' = -Y + DXy₀ + Dx₀Y + DXY.
В первом уравнении еще исчезают первое и второе слагаемые, так как y₀=1:
X' = -x₀Y - XY
Y' = -Y + DX + Dx₀Y + DXY.
Во втором появится опять F, так как Dx₀ + F = 1:
X' = -x₀Y - XY
Y' = DXy₀ - FY + DXY.
Теперь рассмотрим "линейное приближение", считая X, Y малыми отклонениями от равновесия и отбросив нелинейные слагаемые с XY:
X' = -x₀Y
Y' = DXy₀ - FY.
Матрица этой линеаризованной системы имеет вид
0 -1
D -F
Устойчивость равновесия линейной системы определяется собственными числами матрицы, а по устойчивости линейной системы можно судить (не всегда, но часто) об устойчивости и исходной. Собственные числа определяются уравнением
λ(λ+F) + Dx₀ = 0, оно же λ² + Fλ + Dx₀ = 0.
Из теоремы Виета следует, что вещественная часть корней имеет знак, противоположный F (или оба корни вещественные и имеют тот же знак, что -F). Так что если F<0 (охота), то линейная система неустойчива, а это влечет за собой неустойчивость исходной системы. Если же F>0 (подпитка), то система устойчива, но только если есть равновесие (для этого необходимо F<1).
Аналогично, если отстреливать жертв, то можно разрушить равновесие. Если же отстреливать немного, то равновесие будет - но неустойчивое. Вот если жертв подсаживать в экосистему, то это благо для устойчивости... в данной модели.
А если хаотично изымать-добавлять особей в систему, добавив случайный шум, то он, скорее всего, разрушит устойчивость (!), то есть суета с недозапрещенной охотой и подпиткой экосистемы животными из заказников - это плохо для устойчивости.
Вернемся к решению системы без всяких воздействий:
Aln(y) - By = -Cln(x) + Dx + K.
Подставим равновесное y=A/B:
Aln(A/B) - A = -Cln(x) + Dx + K.
Для простоты перейдем в ту систему единиц, в которой A=B=C=1:
Dx - ln(x) + K+1 = 0.
Производная левой части равна D-1/x и равна нулю в точке x=1/D. Там у функции максимум, других максимумов нет. Поэтому уравнение либо не имеет решений, либо имеет одно, либо ровно два. Больше быть не может, а это означает, что (если решений два), то система дважды за период проходит равновесную численность хищников. Это и есть замкнутость.
Еще раз подчеркну, что это для данной модели, которая реальность порой описывает неплохо, но все-таки далеко не абсолютна!
